Ein Sekundenzähler

Der Sekundenzähler einer Armbanduhr zählt von 0 bis 59; mit jeder Sekunde rückt er um eine Ziffer vor.

Ein Sekundenzähler anderer Bauart soll aus drei Zählwerken A, B, C bestehen.

Jedes dieser Zählwerke rückt in einer Sekunde um eins vor, wobei aber jedes einen anderen Zyklus von Ziffern durchläuft. A zählt 0,1,2,3 und beginnt dann wieder bei 0; B zählt 0,1,2,3,4 und beginnt dann wieder bei 0; C zählt 0,1,2 und beginnt dann wieder bei 0. Zu Minutenbeginn steht jeder der drei Zähler auf 0.

a) Zeigen Sie: Der Sekundenzähler ordnet jeder Zahl von 0 bis 59 genau ein Tripel der Form (a | b | c ) ( a aus A, b aus B, c aus C) zu, wobei jeweils zwei verschiedenen Zahlen zwei verschiedene Tripel zugeordnet werden; umgekehrt gehört zu jedem Tripel genau eine Zahl von 0 bis 59. Mit anderen Worten: Die durch den Zählmechanismus gegebene Zuordnung der Tripel zu der Menge der Zahlen von 0 bis 59 ist eine bijektive Funktion.

b) Welche Zahlentripel zeigt der Zähler an für die Sekundenzahlen 15, 47, 53?

c) Welche Zahl wird durch das Tripel (3|4|0), welche durch das Tripel (2|3|1) dargestellt?

d) Ein Sekundenzähler der beschriebenen Art soll aus zwei Zählwerken D und E aufgebaut werden. Die beiden Zähler sollen in der im Teil a) beschriebenen Weise funktionieren ( an Stelle der geordneten Zahlentripel stehen nun geordnete Zahlenpaare). Welche Paare von Zyklen kommen für D, E in Frage? Warum funktioniert der Zähler nicht, wenn man z.B. für D den Zyklus 0,...,5 und zugleich für E den Zyklus 0,...,9 wählt ?


a) Der Zyklus von A enthält vier Ziffern, der von B fünf, der von C drei Ziffern. Das kleinste gemeinsame Vielfache und zugleich das Produkt der Zahlen 4, 5, 3 ist 60. Aus letzterem folgt, dass es genau 60 verschiedene Tripel gibt und aus ersterem, dass ein jedes der 60 Tripel, z.B. das Anfangstripel (0|0|0), sich nach genau 60 Sekunden wiederholt.

b) A zeigt den Rest der Zahl bei Division durch 4 an, B den Fünfer-Rest und C den Dreier-Rest. Damit gilt 15 = (3| 0 | 0 ) , 47 = ( 3| 2 | 2) , 53 = ( 1| 3| 2 ) .

c) ( 3| 4 | 0) = 39 ( von den durch 3 teilbaren Zahlen zwischen 0 und 59 haben die Zahlen 39 und 54 den Fünferrest 4, aber nur 39 hat zugleich den Viererrest 3) .

( 2 | 3 |1 ) = 58 ( das Tripel muss die vorletzte Zahl anzeigen, denn das darauf folgende Tripel

( 3 | 4 | 2 ) ist gleich 59: Rückt jetzt noch jede Ziffer um 1 vor, so kommt man auf (0|0|0) ).

d) Für D, E kommen – bis auf Vertauschung von D und E – die Zyklenpaare 0,...14 und 0,...3, ferner 0,...19 und 0,1,2, und schließlich 0,...,11 und 0,...,4 in Frage. Denn die Zahlenpaare mit dem Produkt und zugleich dem kgV = 60 sind (15, 4) , (20,3) und (12, 5) .

Die anderen Zahlenpaare, deren Produkt 60 ergibt, z.B. das erwähnte Paar 6,10 haben ein kleineres gemeinsames Vielfaches. So ist das kgV(6,10) = 30, und das Zählwerk aus D und E würde nach 30 Sekunden wieder auf dem Anfangswert stehen.