Barometrische Höhenformel im Kleinen

Gegeben ist ein nach oben offener Glaszylinder ( Höhe H = 10cm, Durchmesser d = 8 cm).

a) Das Gefäß werde randvoll mit Wasser gefüllt ( Massendichte 1 Gramm/cm3). Wie viel Gramm Wasser befindet sich in dem Glaszylinder?

b) Das Gefäß wird mit einer sirupartigen Flüssigkeit randvoll gefüllt. Nach einiger Zeit entmischt sich diese etwas, so dass die Massendichte nicht überall in der Flüssigkeit gleich ist. Vielmehr hat sie im tiefsten Punkt den Wert 2 gr/cm3, nimmt linear nach oben ab, bis sie an der Oberfläche den Wert 1 gr/cm3 erreicht.

Wie viel Gramm Flüssigkeit befinden sich jetzt im Glaszylinder ?

c) Eine lineare Verteilung der Dichte anzunehmen wie im Aufgabenteil b) ist nur eine erste Näherung. Wirklichkeitsnäher ist es, wenn man annimmt, dass die Dichte exponentiell mit dem Abstand vom Boden abnimmt. (Ein Beispiel eines solchen Verlaufs einer Dichte findet sich in der Erdatmosphäre ( barometrische Höhenformel) ).

Nehmen wir also an, die Dichte ρ hänge in folgender Weise von x ab, wobei x den Abstand vom Boden des Gefäßes bezeichnet: ρ(x) = (2,5 gr/cm3)•exp(- k•x) ; k = 0,08 cm-1.

Das Gefäß werde randvoll mit einer Flüssigkeit gefüllt, die diese Dichteverteilung hat. Wie groß ist die Masse der eingefüllten Flüssigkeit?


a) Der Zylinder hat das Volumen π•42•10 cm3 = π • 160 cm3 ; er enthält π•160 Gramm Wasser.

b) Wenn bei Füllung mit reinem Wasser sich π•160 Gramm Wasser im Gefäß befinden, dann müssen es bei der gegebenen Dichteverteilung das 1,5- fache davon sein. Denn aufgrund der Zylinderform des Gefäßes und des linearen Verlaufs der Massendichte kann man sich den Sirup durch eine Flüssigkeit mit der mittleren Massendichte (2 + 1)gr/cm3/2 = 1,5gr/cm3 ersetzt denken. Es befinden sich also π•160•1,5 Gramm (rund 754Gramm) Flüssigkeit im Glaszylinder.

Man kann das Ergebnis auch über eine Integration erhalten.

Bezeichne x den Abstand von der tiefsten Stelle des Gefäßes. Ein Volumenelement der Dicke dx hat im Abstand x vom Boden das Volumen dV = π•16•dx, und es enthält die Masse

dm = ( 2 – x/10)• π • 16• dx . Integration über x von 0 bis 10 ergibt als Wert für die Gesamtmasse M : M = π•16• (2x – x2/20) |010 = π•16•(20 – 5) = π•16•15 = 753,6

Es befinden sich rund 754 Gramm Flüssigkeit im Glaszylinder.

c) Es gilt dm = ρ(x)•π•16•dx = 2,5•(exp( - 0,08•x))• π •16•dx . Integration in den Grenzen von 0 bis h ergibt die Masse M(h), wobei h den Abstand der Oberfläche der Flüssigkeit vom Gefäßboden bezeichnet:

M = 2,5• π • 16 • (- (1/0,08)•exp( - 0,08•x)) |0h = 2,5• π • 16 • (1/0,08) • ( - exp( -0,08h) – 1)

M(h) = 500•π•(1 – exp( - 0,08h) )

 

Einsetzen von h = H = 10 ergibt M = 500 • π •( 1 – 0,449) = 865,1

In dem Gefäß befinden sich 865,1 Gramm Flüssigkeit.

Ich lade den Leser noch zu einer kleinen mathematischen Spielerei ein. Welche Masse ergäbe sich, wenn man die exponentiell nach oben abnehmende Dichte durch eine ersetzen würde, die linear vom Wert am Boden ( = 2,5gr/cm3) zu ihrem Wert an der Oberfläche abnimmt (dieser ist gleich 2,5•exp(-0,8) gr/cm3 ≈ 1,1225 gr/cm3) ?

In diesem Fall wäre die mittlere Dichte gleich (2,5 + 1,1225)/2 gr/cm3 = 1,81125 gr/cm3. Das Gefäß enthielte die Masse π•160•1,81125 gr ≈ 910 Gramm. Das sind mehr als die tatsächlich vorhandenen 865 Gramm: Das Bild der Exponentialfunktion mit negativem Exponenten ist eine nach unten gekrümmte Kurve, und die Sekante zwischen den Punkten mit den x-Werten 0 und 10 verläuft oberhalb dieser Kurve.