Ein Ratespiel zur Geometrie

1. Gegeben sind zwei Punkte P und Q in der Ebene; ihr Abstand sei 2e ( alle Kleinbuchstaben in diesem Aufgabenteil bezeichnen Maßzahlen zu Strecken). Mit rP wird der Abstand eines Punktes der Ebene zu P, mit rQ sein Abstand zu Q bezeichnet.

Wo liegen alle Punkte der Ebene, deren rP und rQ

1.1.  das arithmetische Mittel a ( a > e)

1.2.  das geometrische Mittel e

haben ?

2. Gegeben sei nun der erste Quadrant eines x-y- Koordinatensystems. Alle Kleinbuchstaben in diesem Aufgabenteil bezeichnen positive Zahlen.

Wo liegen alle Punkte (x|y), deren Koordinaten

2.1. das arithmetische Mittel a

2.2. das geometrische Mittel g

2.3. das quadratische Mittel q

haben?

Hinweis: Das arithmetisches Mittel – eigentlich „ das unbewichtete arithmetische Mittel“ oder der Durchschnitt - zweier Zahlen x und y ist die Zahl (x+y)/2, ihr geometrisches Mittel g ist die Quadratwurzel aus dem Produkt von x und y: g = (x•y)1/2.

Ihr quadratisches Mittel ist die Zahl q = ( (x2 + y2)/2 )1/2


1.1.  auf der Ellipse mit großer Halbachse a und den beiden Brennpunkten P und Q

1.2.  auf der Lemniskate mit P und Q als Bezugspunkten

Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, bei denen die Summe der Abstände von zwei gegebenen Punkten P und Q gleich groß ist. Bekannt ist z.B. die „Gärtnerkonstruktion“ einer Ellipse; aus ihr lässt sich ablesen, dass die Abstandssumme gleich dem Doppelten der großen Halbachse ist.

 

Die Lemniskate ist ein Spezialfall einer Cassinischen Kurve. Eine solche Kurve ist der geometrische Ort aller Punkte, für die das Produkt der Abstände von zwei festen Punkten P und Q einen konstanten Wert hat. Ist dieser Wert gleich e2, so liegt die Lemniskate vor. Diese geht durch den Nullpunkt ( „liegende Acht“).

 

2.1. Auf dem Abschnitt der Geraden mit der Steigung –1 und dem y-Achsenabschnitt 2a (auch der x-Achsenabschnitt ist in diesem Fall gleich 2a).

2.2. Auf der Hyperbel mit der Gleichung y = g2/x

2.3. Auf dem Viertelkreis mit dem Ursprung als Mittelpunkt und dem Radius r = 21/2• q

 

Ein mathematisches Schmankerl zur Nachlese: Mittelbildung auf geometrische Art.

 

Betrachten wir die Berechnungen von Mittelwerten einmal modo geometrico. Alle Kleinbuchstaben sollen im folgenden Maßzahlen von Strecken darstellen.

Der Durchschnitt ( ungewichtetes arithmetisches Mittel) von n Zahlen a1, a2, ...,an ist gegeben durch (a1 + a2 + ....+ an)/n. Man addiert die n Strecken ai und teilt die Gesamtstrecke in n gleiche Teilstrecken auf.

Das gewichtete arithmetische Mittel ( g1a1 + g2a2 + .... + gnan)/( g1 + g2 + ...+ gn) : Die Teilstrecken ai kommen jetzt gi – fach vor; man teilt die Gesamtstrecke in g1+g2+...+gn gleiche Teilstrecken auf.

Das geometrische Mittel. g = (a1a2)1/2 : Man wandelt das Rechteck mit den Seitenlängen a1,a2 in ein flächengleiches Quadrat mit der Seitenlänge g um . Sei nun g = (a1a2a3)1/3 : Man wandelt den Quader mit den Kantenlängen a1, a2, a3 in einen volumengleichen Würfel mit der Kantenlänge g um. g = ( a1a2...an)1/n : Man wandelt den n-dimensionalen Quader mit den Kantenlängen a1,a2,...,an in einen n-dimensionalen Würfel mit der Kantelänge g um.

Das harmonische Mittel h zweier Zahlen ist gegeben durch 1/a1 + 1/a2 = 2/h oder

h = (a1a2)/((a1+a2)/2) : Das harmonische Mittel zweier Zahlen ist gleich dem Quotienten aus dem Inhalt des Rechtecks mit den Seiten a1,a2 und dem Durchschnitt der beiden Seiten.

Das harmonische Mittel h dreier Zahlen ist gegeben durch 1/a1 + 1/a2 + 1/a3 = 3/ h oder

3/h = (a2a3 +a1a3 +a1a2)/(a1a2a3) oder h = a1a2a3 / ((a2a3 +a1a3 +a1a2)/3) : Das harmonische Mittel dreier Zahlen ist gleich dem Quotienten aus dem Volumen des Quaders mit den Seitenlängen a1,a2,a3 und dem Durchschnitt der den Quader begrenzenden Seitenflächen.

Im Fall von n Zahlen ist n/h = 1/a1 + 1/a2 + ...+ 1/an oder

h = a1a2...an /( ( a2a3…an + a1a3…an + a1a2a4…an + …+ a1a2…an-1)/n) : Das harmonische Mittel ist der Quotient aus dem Volumen des n-dimensionalen Quaders mit den Seitenlängen a1,a2, ....,an und dem Durchschnitt aus den Inhalten seiner n- 1 – dimensionalen Begrenzungen.

Das quadratische Mittel q = ( ( a12 + a22 + ...+ an2)/n)1/2 : Man bildet ein Quadrat, dessen Inhalt gleich dem Durchschnitt aus den Inhalten der n Quadrate ai2 ist; dessen Seitenlänge ist dann gleich q.

Das anharmonische Mittel a = ( ( a12 + a22 + ...+ an2)/(a1 + a2 + ….+an) )1/2 : Man denkt sich die n Quadrate ai2 nebeneinander gelegt. Sodann wird ein Rechteck gebildet, dessen Inhalt gleich der Summe der n Quadrate ist und dessen eine Seite gleich der Summe der n Seitenlängen ai ist. Die andere Seite dieses Rechtecks ist gleich a.

Das Integralmittel : Man bildet ein Rechteck, das flächengleich ist mit der

Fläche unter der Kurve f(t) über dem Intervall von 0 bis T. Als eine Seite des Rechtecks wählt man T, die andere ist dann gleich I. Das anharmonische Mittel ist ein Integralmittel, wobei T gleich der Summe a1 + a2 + ...+ an und f(t) die Treppenkurve mit den Funktionswerten ai ist: f (0≤t<a1) = a1; f(a1≤t<a1+a2) = a2; f(a1+a2≤t<a1+a2+a3) = a3; ...

…f(a1+a2+...+an-1≤t<a1+a2+…+an) = an