Auffüllen eines Vorrats

In einem Land mit heißem, trockenem Klima füllt ein Wasserverkäufer seinen Vorrat auf, den er in einem Weiher gespeichert hat. Dazu öffnet er einen Zulauf, über den pro Woche 100m3 frisches Wasser eingespeist werden. Allerdings gehen durch Verdunsten und durch Versickern in einer jeden Woche zehn Prozent der Wassermenge verloren, die sich zu Beginn dieser Woche im Weiher befunden hat.

a) Wie viel Wasser befinden sich vier Wochen ( n Wochen) nach Beginn des Auffüllens im Weiher, wenn zu Beginn des Auffüllens darin noch 300m3 Wasser waren?

b) Zeigen Sie: Der Weiher kann unter den gegebenen Umständen höchstens 1000m3 Wasser aufnehmen.

c) Nach einer völligen Entleerung wird der Weiher frisch aufgefüllt. Nach welcher Zeit ist er wieder bis zur Hälfte ( also mit 500m3 Wasser) gefüllt ?


Mit Wn wird die Wassermenge bezeichnet, die am Ende der n-ten Woche nach Beginn des Auffüllens im Weiher vorhanden ist; die Zuflussmenge pro Woche wird mit r bezeichnet.

a) W0 = 300m3; W1 = 0,9W0 + r; W2 = 0,9W1 + r = (0,9)2W0 + r(1 + 0,9);

W3 = 0,9W2 + r = (0,9)3W0 + r(1+0,9 + (0,9)2)

 

W4 = 0,9W3 + r = (0,9)4W0 + r(1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3)

 

Wn = (0,9)nW0 + r( 1+ 0,9 + (0,9)2 + …+ (0,9)n-1) = (0,9)nW0 + r (((0,9)n – 1)/(0,9 –1))

 

Wn = (0,9)nW0 + 10r( (0,9)n – 1) = (0,9)n(W0 – 10r) + 10r ( I)

 

Einsetzen von W0 = 300m3 , r = 100m3 und n = 4 ergibt W4 = 540m3 .

b) Wächst in (I) n über alle Grenzen, so strebt Wn gegen 10 r = 1000m3. Der Weiher kann höchstens 1000m3 aufnehmen. Das Ergebnis ist plausibel: Der Endstand wäre erreicht, wenn pro Woche eben so viel Wasser verloren geht wie frisches nachfließt; 10 Prozent von 1000m3 sind gerade gleich dem wöchentlichen Zufluss von 100m3. Allerdings wird dieser zwar beliebig genau, aber niemals exakt erreicht werden.

c) Einsetzen von W0 = 0, r = 100m3 und Wn = 500m3 in (I) ergibt ½ = 1 – (0,9)n oder

(0,9)n = ½. Es folgt n = log(1/2)/log(0,9) = 6,57. Nach rund sechseinhalb Wochen ist der Weiher wieder bis zur Hälfte aufgefüllt.