Paare teilerfremder Zahlen

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Zahl 6! als Produkt zweier teilerfremder, von 1 verschiedener Zahlen a, b zu schreiben?

b) Seien a, b zwei von 1 verschiedene und teilerfremde natürliche Zahlen mit der Eigenschaft

15! = a•b . Wie viele Zahlenpaare ( a, b) dieser Art gibt es?

c) Mit p(n) wird die Anzahl der Primzahlen bezeichnet, die kleiner oder gleich einer natürlichen Zahl n sind. Wieviele Zahlenpaare (a, b) mit der Eigenschaft n! = a•b gibt es, wenn a, b zwei von 1 verschiedene und teilerfremde natürliche Zahlen sind?

Hinweis: Wegen x•y = y•x sehen wir in dieser Aufgabe die Zahlenpaare (x| y) und (y|x) als gleich an. Es ist also nicht nach der Anzahl geordneter Zahlenpaare (a| b) gefragt.


a) 6! = 1•2•3•4•5•6 = 22•3 • 5 . Es gibt die drei folgenden Möglichkeiten, diese Zahl als Produkt in der verlangten Art zu schreiben: 22•( 3•5); 3•(22 • 5) ; 5•(3•22)

Damit ist der Weg zur Lösung der folgenden Aufgabenteile vorgezeichnet: Teilerfremd sind zwei Zahlen genau dann, wenn sie keinen gemeinsamen Primfaktor enthalten.

 

b) Die Primfaktorzerlegung der Zahl 15! enthält Potenzen der ersten sechs Primzahlen 2,3,5,7,11,13 . Teilerfremd sind a und b genau dann, wenn sie keinen gemeinsamen Primfaktor enthalten. Die Zerlegung der Zahl b enthält dann genau diejenigen der sechs Primzahlen, welche die Zerlegung von a nicht enthält. Mit anderen Worten: Die in a enthaltenen Primfaktoren sind eine Teilmenge der sechs genannten Primzahlen; b enthält die Komplementärmenge.

Es gibt 26 Teilmengen der 6 Primzahlen.

Wie viele Paare der Art ( Teilmenge | Komplementärmenge) lassen sich daraus bilden? Würden wir die Reihenfolge beachten, also geordnete Paare bilden, so kämen wir auf eine Anzahl von 26 ; sehen wir die Zahlenpaare (x|y) und (y|x) als gleich an, so halbiert sich die Anzahl auf 25. Davon abzuziehen ist noch der Fall der leeren Teilmenge ( in diesem Fall wäre einer der Faktoren gleich 1). Wir kommen auf eine Anzahl von 25 – 1 = 31.

 

Es gibt einundreißig Zahlenpaare a, b mit 15! = a•b = b•a

 

c) Statt der Zahl 6 ist der Term p(n) zu verwenden. Es gibt 2p(n) – 1 – 1 Zahlenpaare der gesuchten Art.