Glücksspiel mit zwei Trommeln

Ein Glücksspiel wird wie folgt organisiert. Gegeben sind zwei Lostrommeln. Die Lose in den Trommeln sind entweder Treffer oder Nieten. Gezogen wird erst ein Los aus der ersten Trommel, sodann ein Los aus der zweiten Trommel. Mit A, B, C, D, E sind folgende Ereignisse bezeichnet.

A: Die erste Ziehung ist ein Treffer ; B: Die zweite Ziehung ist ein Treffer

C: Wenigstens eine der Ziehungen ist ein Treffer D: Genau eine der Ziehungen ist ein Treffer

E: Beide Ziehungen sind Treffer

1. Die Trefferwahrscheinlichkeiten seien p(A) = 0,4 und p(B) = 0,2

1.1.            Berechnen Sie p(C) , p(D) und p(E). Vorschlag: Zeichnen Sie ein Baumdiagramm

1.2.            C sei das Gewinnereignis; beim Eintreffen von C zahlt der Veranstalter ein Preisgeld von 2€. Welche Gebühr g muss er erheben, wenn er langfristig einen Gewinn erzielen will?

1.3.            D wird mit 2€ Preisgeld honoriert, E mit 5€. Welche Gebühr g muss der Veranstalter erheben, wenn er langfristig einen Gewinn erzielen will?


2. Gelte nun p(A) + p(B) = 1. (Vorschlag: Setzen Sie zum Rechnen p(A) = x, p(B) = 1-x)

Zeigen Sie: 1 ≥ p(C ) ≥ 3/4; 1≥ p(D) ≥ ½ und ¼ ≥ p(E) ≥ 0


1.1 p(C ) = 1 – 0,48 = 0,52 p(D) = 0,32 + 0,12 = 0,44 p(E) = 0,08

1.2.    Der zu erwartende Gewinn des Spielers ist - g + 0,52•2 = -g + 1,04. Dieser ist negativ mit g>1,04. Der Veranstalter muss eine Gebühr verlangen, die größer als 1,04€ ist.

1.3.    – g + 0,44•2 + 0,08•5 < 0 und damit g> 0,88 + 0,4 = 1,28 .Der Veranstalter muss eine Gebühr von mehr als 1,28€ verlangen.

2.

p(A) = x, p(B) = 1-x; p(A) = 1-x, p(B) = x

p( C ) = 1 - x•(1-x) = 1-x +x2 = (x – ½)2 + ¾ . Wegen 0≤x≤1 ist (x- ½)2 ≤1/4.

Es folgt 3/4≤p( C ) ≤ 1. p( C ) = 1 in den Fällen x= 0 oder x = 1 ( dann wäre mit Sicherheit eine der Ziehungen ein Treffer und die andere eine Niete) . p( C ) = ¾ im Fall x = ½.

p( D) = x•x + (1-x)2 = x2 +1 – 2x +x2 = 2•(x- ½ )2 + ½ . Wegen 0≤x≤1 ist (x- ½)2 ≤1/4.

Es folgt ½ ≤p(D)≤ 1. Die Gleichheit mit 1 gilt wiederum in den Fällen x=0 oder x= 1; p(D) = ½, wenn x =1/2

p(E) = x•(1-x) = x-x2 = - ( x – ½ )2 +1/4 . Wegen 0≤x≤1 ist (x- ½)2 ≤1/4.

Es folgt ¼ ≥ p(E) ≥ 0 . Gleichheit mit 0 liegt vor, wenn eine der Ziehungen mit Sicherheit ein Treffer und damit die andere mit Sicherheit eine Niete ist. p(E) = ¼ im Fall x = 1/2 .