Diskontierung

Vorab sei an die Zinseszinsformel erinnert. Bezeichnen p den Jahreszins, t die Zeit in Jahren, k(t) das Kapital nach der Zeit t, k0 das Anfangskapital, so gilt:

k(t) = k0•(1,0p)t ≈ k0•( 1+ t•0,0p) bzw. k0 = k(t)•( 1,0p)- t ≈ k(t)•( 1 – t•0,0p) ( mit ≈ ist die lineare Näherung angegeben, die im Fall t•0,0p << 1 gilt). Wir berechnen das Jahr zu 360 Tagen; in Teil a) genügt es, in der linearen Näherung zu rechnen.

a) Ein Kunde möchte von einer Bank einen Kredit. Er wird in 60 Tagen aus einem Wertpapierverkauf 60 000 € erlösen und damit und in genau dieser Höhe den Kredit zurückzahlen. Die angenommene Geldentwertung ( Diskontsatz) beträgt 3% im Jahr. Die Bank zahlt den Kredit in Höhe des Istwertes aus. Das ist der Betrag, der mit dem Diskontsatz verzinst bis zum Tag der Rückzahlung auf 60 000 € angewachsen sein wird. Welchen Kredit zahlt die Bank dem Kunden aus?

b) Ein Kunde möchte von der Bank einen Kredit. Er will diesen in folgender Weise zurückzahlen. Erstmals nach einem Jahr zahlt er eine Rate in Höhe von r €. Das ist die erste von zehn Raten, die er jeweils am Ende eines jeden Jahres in eben dieser Höhe zahlen wird, die letzte also von nun ab gerechnet am Ende des zehnten Jahres. Der Diskontsatz wird zu p % vereinbart.

Wie hoch ist der Kredit, den die Bank auszahlt? Geben Sie seinen Wert an im Fall p = 5 und r=2000€.

Gegen welchen Grenzwert strebt die Höhe des Kredits, wenn die jährliche Ratenzahlung r über beliebig viele Jahre hinweg erfolgen soll?


a) Der Istwert errechnet sich wie folgt.

60000€•( 1 – (60/360)•0,03) = 60000€•( 1- 0,005) = 60000€ - 300€ = 59700€ .

Die Bank zahlt dem Kunden 59700€ aus.

b) Der Istwert errechnet sich wie folgt. Wir kürzen ab: 1,0p =: q

r•( q-1 + q-2 + … + q-10 ) = r• q-1 •( 1 + q-1 + … + q-9) = r•q-1•( (1- q-10)/(1 – q-1))

Erweitern mit q ergibt: r•( 1 – q-10)/(q – 1) . Jetzt setzen wir q = 1,0p ein und damit q-1 = 0,0p .

Der gesuchte Istwert ergibt sich zu: r• (100/p)•( 1 – (1,0p)-10 )

Im Fall r = 2000€ und p = 5 erhält man 2000€• 20• 0,386 = 2000€• 7,72 = 15440€ .

Der Istwert im Fall einer Zahlung von n Jahresraten ergibt sich zu: r• (100/p)•( 1 – (1,0p)-n ).

Wächst n über alle Grenzen, so strebt der Istwert gegen r• (100/p) , im Fall p=5 also gegen 20r.

Ich möchte noch eine Anmerkung für Freunde der Integralrechnung anfügen.

Angenommen, die Ratenzahlung würde nicht in jährlichen Beiträgen in der Höhe r erfolgen, sondern r wäre eine „Ratendichte“ und r•dt würde die Zahlung in einem Zeitintervall von t bis t+dt bedeuten. Der Istwert dieser Teilzahlung wäre (1,0p)-t • r•dt = e-ln(1,0p)•t rdt = e-s •t • r•dt mit s= ln(1,0p). Integration von 0 bis ∞ ergäbe dann den Istwert der gesamten Zahlung. Und dieses Integral ist die Laplace-Transformierte der konstanten Funktion r mit s = 1,0p ! Rechnet man die Laplace Transformierte aus, so erhält man r/s = r/ln(1,0p) ≈ r/0,0p = r•(100/p) , falls 0,0p<<1.