Ein Teich gefriert zu

Auf einem Teich bildet sich eine Eisschicht.

Wir legen hier das gebräuchliche Modell zugrunde, wonach die Dicke der Eisschicht nur von der Differenz ΔT der Temperaturen zwischen dem Wasser direkt unter dem Eis und der Luft über dem Eis sowie von der Zeit t abhängt, die seit Beginn der Eisbildung verflossen ist. Während der Eisbildung soll ΔT unverändert bleiben. Nach dem Modell ist die Dicke der Eisschicht proportional zur Quadratwurzel aus der Zeit t und proportional zur Quadratwurzel aus der Temperaturdifferenz ΔT.

Die Lufttemperatur betrage nun –15°C, das Wasser direkt unter der sich bildenden Eisschicht habe die Temperatur 0°C. In diesem Fall ist ΔT = 15°C ( = 15K), und dann hängt die Dicke x der Eisschicht nur noch von t ab und zwar in folgender Weise:

x(t) = 1,47•t0,5 ( t gemessen in Stunden, x in cm ) .

a) Nach welcher Zeit ist die Eisschicht 5 cm dick?

b) Stellen Sie in einer Tabelle die Werte zusammen, welche die Dicke der Eisschicht und die Rate der Eisbildung (Dickenwachstum in cm/h) annehmen für t = 1/4h, 1 h, 9h, 100 h.

c) Seit Beginn der Eisbildung seien n Stunden vergangen. Wie lange wird es von nun an dauern, bis die Dicke der Eisschicht sich verdoppelt haben wird?

d) Wie lange würde es dauern, bis das Eis 5 cm dick wäre, wenn die Luft die Temperatur –3°C und das Wasser die Temperatur 0°C hätte?

e) Betrachten Sie sich die Formel für die Eisbildungsrate ( Aufgabenteil b)). Wie ist die Lage im Fall t = 0 bzw. x = 0 ?


a) Setzt man x = 5 ein, so erhält man t = 11,57; nach 11,57h ist das Eis 5 cm dick.

b) Ableiten von x(t) nach t ergibt : x’(t) = 0,735•t – 0,5 oder x’(t) = 1,08/x

t/h

¼

1

9

100

x/cm

0,735

1,47

4,41

14,7

x' (cm/h)

1,47

0,735

0,37

0,0735


c) 2•1,47•(n)0,5 = 1,47•(4n)0,5 . Das heißt: 4n Stunden nach Beginn der Eisbildung ist das Eis doppelt so dick wie n Stunden nach Beginn der Eisbildung. Vom Zeitpunkt „n Stunden nach Beginn der Eisbildung“ aus gesehen sind das also 3n Stunden. Beispiele: Sind seit Einsetzen des Gefrierens 8 Stunden vergangen, so wird es einen Tag ( 24 h) dauern, bis sich die Eisdicke verdoppelt haben wird; gefriert das Eis seit zwei Tagen, so wird es sechs Tage, also fast eine Woche dauern, bis das Eis doppelt so dick sein wird wie im Augenblick.

 

Die Ergebnisse aus den Aufgabenteilen b) und c) erinnern an ein Problem, das fast in jedem Winter auftritt. Die relativ rasche Eisbildung in den ersten Stunden des Gefrierens verleitet die Eisläufer dazu, am zweiten, dritten Tag die Geduld zu verlieren und zu früh auf die Eisdecke gehen zu wollen. Aber die Eisbildungsrate ist nach 100 Stunden auf nur noch ein Zehntel des Wertes abgesunken, den sie nach der ersten Stunde hatte. Beim Auftauen tritt ein anderes Problem auf. Anfangs geht die Dicke und damit die Tragfähigkeit des Eises nur langsam zurück. Da sich aber Luft, Eis und Wasser und auch die einzelnen Stellen des Eises höchst unterschiedlich erwärmen, kommt es zu mechanischen Spannungen, welche die Eisdecke zerreißen. So können plötzlich lange Kanäle offenen Wassers aufbrechen, die eventuell unüberwindbar sind ( Eisbären ausgenommen...).

d) Die beiden einzigen Variablen, die im hier verwendeten Modell die Dicke der Eisschicht beeinflussen, sind die Temperaturdifferenz ΔT zwischen Luft und Wasser sowie die Zeit t, die seit Beginn der Eisbildung verflossen ist. Wenn die Dicke der Eisschicht sowohl zur Wurzel aus t wie auch zur Wurzel aus ΔT proportional ist, so ist sie proportional zur Wurzel aus dem Produkt dieser beiden Größen. Wenn nun in beiden Fällen die gleiche Eisdicke – im Beispiel 5cm – erreicht werden soll, so muss das Produkt ΔT•t konstant sein. Wenn ΔT auf ein Fünftel – von 15 auf 3 K – absinkt, so muss t auf das Fünffache wachsen, also von 11,57 Stunden ( s. Teil a)) auf rund 58 Stunden.

e) Die Eisbildungsrate wächst für t gegen Null bzw. für x gegen Null über alle Grenzen! Demnach sollte das Gefrieren sprunghaft einsetzen. Der Vorgang des Gefrierens ist physikalisch überaus kompliziert und in all seinen Einzelheiten bis heute noch nicht verstanden. Wichtig scheint zu sein, dass sog. Kondensationskerne vorliegen, um die herum sich die ersten Kristalle bilden können. Es bleibt aber richtig, dass die Eisbildung, wenn sie einmal eingesetzt hat, anfänglich sehr schnell erfolgt.

Die Formel für die Eisdicke und die Eisbildungsrate sind analog zu den Formeln, die im Fall einer Diffusion für die zurückgelegte Strecke und die Diffusionsgeschwindigkeit gelten.

Die Eisbildung ist eine Diffusion, wobei anstelle von Stoffmengen Wärme transportiert wird. Die Diffusion ist für kleine Strecken sehr schnell; sie ist im mikroskopischen Bereich ein effektiver Transportmechanismus. So geht z.B. der Sauerstoff in der Lunge per Diffusion durch die Wände der Lungenbläschen in das Blut über.