Zwei Kugeln und die Oberflächenenergie

Gegeben seien zwei Kugeln unterschiedlicher Größe. Sie bestehen aus dem gleichen festen Material ( gleichbleibende Massendichte). Man nimmt der größeren Kugel etwas Material weg und fügt dieses zur zweiten hinzu, so dass zwei neue Kugeln entstehen. Die Summe der Volumina soll also gleich bleiben. Wie verändert sich die Summe der Oberflächen?

Zeigen Sie: Die Summe der Oberflächen wird größer; sie erreicht ein Maximum, wenn die beiden neu entstandenen Kugeln gleich groß sind. Am kleinsten ist die Gesamtoberfläche, wenn beide Kugeln zu einer einzigen zusammengefügt werden.


Aus der Formel zum Volumen einer Kugel V = (4π/3)r3 und zur Oberfläche A = 4πr2 folgt durch Umrechnen: A = (36π)1/3• V2/3 . Der Zahlenfaktor wird im weiteren nicht mehr benötigt; es wird mit der Größe ( Omega) Ω = V2/3 weiter gerechnet .

Addieren wir die Ω-Werte der beiden Kugeln, wobei mit V1, V2 ihre Volumina bezeichnet werden, so erhalten wir Ω = V12/3 + V22/3 , und mit dem Gesamtvolumen V = V1 + V2 :

Ω = V12/3 + (V – V1)2/3 . ( I )

V = V1 und ebenso V1 = 0 bedeuten, dass beide Kugeln zu einer einzigen zusammengefügt werden.

Zu zeigen ist, dass die Funktion Ω (V1) an den Rändern des Definitionsbereiches ( 0 und V) ein Randminimum annimmt, und im Fall V1 = V/2 ein lokales Maximum.

Es werden dazu drei Lösungswege angegeben.

 

1) Ableiten von Ω nach V1 ( im Innern des Definitionsintervalls 0< V1 < V) ergibt:

Ω’ = 2/3 • ( V1-1/3 - ( V – V1)-1/3 ) . Aus Ω’ = 0 folgt V1-1/3 = (V – V1)-1/3, und damit

V1 = V – V1 oder V1 = V/2 . Da 3/2 • Ω’’ = - 1/3 • (V1-4/3 + (V – V1)-4/3 ) < 0 liegt ein Maximum vor ( Das + Zeichen in der Klammer wird durch die innere Ableitung von V-V1 verursacht!). Wegen des konstant negativen Vorzeichens von Ω’’ ist der Graph von Ω im ganzen Definitionsbereich rechtsgekrümmt; an den Rändern liegt jeweils ein Randminimum vor.

 

2) Bezeichne ∆A die Änderung der Oberfläche einer Kugel, wenn deren Volumen um ∆V geändert wird. Dann gilt:

∆A/∆V = 4π((r+∆r)2- r2)/(4πr2∆r) = ((r+∆r)2 – r2)/(r2∆r) = (2r∆r+(∆r)2)/(r2∆r) = 2/r + ∆r/r2

Im Grenzübergang ∆r → 0 wird daraus 2/r .

Die Oberfläche ändert sich also mit dem Volumen mit der Rate 2/r . Nimmt man nun von der Kugel mit dem Radius r1 Material hinweg und fügt dieses der anderen Kugel hinzu, so ist die Änderungsrate der ersteren negativ, und zwar gleich – 2/r1, die der anderen positiv, und zwar gleich 2/r2 . Die Änderungsrate insgesamt ist gleich 2( 1/r2 – 1/r1) .

Sie wird gleich Null im Fall r1 = r2 ; sie ist positiv, wenn r1 > r2 und negativ, wenn r1< r2 . Die Oberfläche erreicht also ihr Maximum, wenn beide Kugeln gleich groß sind; an den Rändern des Definitionsbereiches ( r1 = 0 oder r2 = 0 ) strebt sie ein Randminimum an.

 

3) Setzen Sie in (I) V = 2 ( damit ist keine unzulässige Simplifizierung erfolgt, da die Maßzahl des Volumens bei nicht festgelegter Einheit frei gewählt werden kann). Dann suchen Sie im Internet ein Programm zum Zeichnen eines Funktionsgraphen und geben Sie

Ω = x2/3 + ( 2 – x)2/3 ein . Der Graph ist rechtsgekrümmt, hat bei x = 1 ein Maximum und an den Rändern die Randminima 22/3 ≈ 1,25

 

Verbindet man zwei Seifenblasen mit einem Röhrchen miteinander, so wächst die größere der beiden Kugeln auf Kosten der kleineren an.

 

Wird beim Aufblasen der Blase ihr Radius um dr vergrößert ( dr ist sehr viel kleiner als der Radius r) , so ist die dabei verrichtete Arbeit gleich F•dr, wobei F die Kraft bezeichnet, die auf die Hülle der Blase wirkt. F rührt vom Überdruck des Gases im Innern der Blase her; der Gasdruck wirkt radial nach außen, und daher ist auch F radial nach außen gerichtet. Die Arbeit wird benötigt, um die Blasenhaut weiter zu spannen, denn eine Vergrößerung von deren Oberfläche um ΔA erfordert die Arbeit σ•ΔA, wobei mit σ die spezifische Oberflächenenergie oder die Oberflächenspannung bezeichnet ist. Die Kraft F erhält man, indem man die potentielle Energie σ•A der gespannten Blase nach dem Weg r ableitet; das ergibt F = 8πσr. Division durch die Fläche A ergibt den Überdruck im Innern : p = 2σ/r.

 

Dieses wohlbekannte Resultat erklärt die beschriebene Beobachtung. Man ist versucht, diese mit dem oben beschriebenen Modell der beiden Kugeln zu erklären, deren Volumensumme konstant ist, während die Oberfläche im Fall gleicher Kugelradien maximal, im Fall einer verschwindenden Kugel minimal wird.

Würde es demnach gelingen, zwei genau gleiche Blasen ( gleicher Radius r, gleiche spezifische Oberflächenenergie σ) miteinander über ein Röhrchen zu verbinden, so hätte man den Zustand eines metastabilen Gleichgewichtes realisiert. Die Gesamtoberfläche und damit die Oberflächenenergie wären maximal. Die geringste Schwankung in den Volumina würde dazu führen, dass die größere Blase sogleich auf Kosten des kleineren wächst. Der stabile Endzustand wäre erreicht, wenn das gesamte Volumen in einer Blase vereinigt wäre; dann wäre die Gesamtoberfläche und damit die Oberflächenenergie der Anordnung minimal. Allerdings wird die größere Blase vorher platzen.

 

Bei diesem Versuch ist die in den Blasen befindliche Luftmenge ( die Molzahl n) konstant. Ist dann auch noch die Temperatur konstant, so könnte die Summe der Volumina nur dann gleich bleiben, wenn auch der Druck gleich bliebe. Das ist jedoch nicht der Fall. Aber die Zustandsgröße „Druck“ in den Gasgleichungen meint den gesamten Druck, nicht nur den Überdruck. Solange der Überdruck viel kleiner ist als der äußere Luftdruck, kann man auch das Gesamtvolumen als annähernd konstant ansehen; dann greift das Modell. Das ist sicherlich im Fall der Seifenblasen gegeben.

 

Für andere Körper, die von elastischen Häuten umgeben sind ( z.B.) Luftballons, gelten ähnliche Überlegungen. Aber in diesen Fällen dürfte der Überdruck in den Ballons nicht gegenüber dem äußeren Luftdruck vernachlässigbar klein sein; eine gleichbleibende Luftmenge bedeutet daher nicht mehr ein gleichbleibendes Volumen, und insofern greift das oben beschriebene Modell der beiden Kugeln nicht mehr.