Sparen in festen Raten

Richard zahlt zu Beginn eines jeden Jahres z € auf ein Sparkonto ein. Die Einlagen werden mit p % im Jahr verzinst. Welchen Betrag hat er nach Ablauf von n Jahren angespart?

Rechnen Sie den Betrag aus im Fall p = 3, z = 150, n = 10 .

Wie lange müsste Richard im gegebenen Fall seinen Sparplan bedienen, damit der angesparte Betrag doppelt so groß ist wie der nach zehn Jahren erreichte Betrag?


Die erste Rate ist nach n Jahren auf z• (1,0p)n angewachsen, die zweite auf z•(1,0p)n-1 , die letzte Rate - das ist die zu Beginn des n-ten und letzten Jahres eingezahlte Rate - auf z•1,0p .

Das Endguthaben beträgt also, wenn wir die Abkürzung q := 1,0p einführen :

z• ( q + q2 + ... + qn ) = z•q• ( 1 + q + …+ qn-1) = z•q•((qn – 1)/(q-1)) = z•q•(100/p)•(qn – 1)

Mit p = 3, q = 1,03; n = 10 und z = 150 ergibt sich ein Endguthaben von 1771,17€

Mit dem Ansatz z•q•(100/p)•(qn – 1) = 2• z•q•(100/p)•(q10 – 1) folgt: qn – 1 = 2•(q10 – 1) , und damit qn = 2•q10 – 1 . Logarithmieren auf beiden Seiten und Auflösen nach n ergibt:

n = (log(2•q10 – 1))/log(q) . Einsetzen von q = 1,03 führt zu: n = 17,7

Nach 17,7 Jahren hätte Richard das Doppelte der Summe angespart, die er nach zehn Jahren erreicht hatte.