Tilgung eines Darlehens

Eine junge Familie nimmt ein Darlehen in Höhe von 150 000€ zum Hausbau auf. Der Berater schlägt folgenden Tilgungsplan vor. Im ersten Jahr zahlt die Familie 3,5% Zinsen auf das volle Darlehen plus 2% des Darlehens als Tilgung. Diese Jahresrate ( „Annuität“) bleibt ebenso wie der Zinssatz von 3,5% während der gesamten Laufzeit des Kredits unverändert. Da fortlaufend getilgt wird, nimmt der Zinsanteil an der Jahresrate ab, und in gleichem Umfang wächst jeweils der Tilgungsanteil. Zwar wird man nach Ablauf von zehn Jahren erneut über die Darlehensbedingungen verhandeln, aber zur vorläufigen Berechnung der Rückzahlung werden die genannten Bedingungen als gleichbleibend angesehen. Die Familie möchte, dass der Kredit spätestens nach Ablauf von dreißig Jahren getilgt sein wird. Kann das unter den gegebenen Bedingungen erreicht werden? Um diese und andere Fragen zu beantworten, gehen wir in folgenden Schritten vor.

 

a) Wie hoch ist die Jahresrate? Wie groß ist der Tilgungsanteil im ersten Jahr?

b) Wie berechnet man den Tilgungsanteil tm+1 im (m+1)-ten Jahr aus dem Tilgungsanteil tm im m-ten Jahr? Berechnen Sie im gegebenen Fall t2, t3 und t9 .

c) Bestimmen Sie den Term der Summe Sn = t1 + t2 + ...tn , d.h. des nach n Jahren insgesamt getilgten Betrages.

d) Wäre im gegebenen Beispiel der Kredit nach dreißig Jahren zurückgezahlt?

e) Wie groß ist das Restdarlehen nach Ablauf von 10 Jahren?


a) Jahresrate: (0,035 + 0,02)•150 000€ = 8250€.

Davon Tilgung t1 = 0,02•150 000€ = 3000€ =:c

 

b) Das im (m+1)-ten Jahr noch zu verzinsende Darlehen ist gegenüber dem m-ten Jahr um tm kleiner geworden. Damit sind 0,035•tm Zinsen weniger zu entrichten, und dieser Betrag wird dem Tilgungsanteil hinzugefügt. Dieser beträgt damit tm+1 = tm + 0,035•tm = tm•1,035 .

Es folgt: t2 = c•1,035 = 3105€; t3 = c•1,0352 = 3213€; t9 = c•1,0358 = 3950€

 

c) Sn = c• ( 1 +1,035+1,0352 + ...+ 1,035n-1) = c•(1,035n –1)/0,035 = 3000€•(1,035n –1)/0,035

 

In allgemeiner Form: Ist p der Zinssatz, a der Prozentsatz der Tilgung in der ersten Rate, k das gewährte Darlehen, so gilt: Sn = (0,0a•k)•((1,0p)n – 1)/0,0p = (a/p)•k•((1,0p)n – 1)

 

d) Einsetzen n = 30 in c) ergibt S30 = 154868 > 150 000 . Das Darlehen wird unter den gegebenen Bedingungen in weniger als 30 Jahren zurückgezahlt sein.

Will man n berechnen, so setzt man in die allgemeine Form von c) ein: Sn = k, und es folgt

p/a + 1 = (1,0p)n und n = ( log(p/a + 1))/log(1,0p) ; Einsetzen von p/a = 3,5/2 und

1,0p = 1,035 ergibt n = 29,41 . Die Rückzahlung endet demnach im dreißigsten Jahr.

 

e) S10 = 3000€•(1,03510 – 1)/0,035 = 35194,18€. Die Restschuld beträgt noch 114 805,82€