Wie die Blätter fallen

Wir sind im Herbst und beobachten, wie die Blätter von einem Baum fallen. Zu Beginn der Beobachtungen seien an ihm noch N Blätter vorhanden. Nach einem Tag sind davon noch 90 % der Blätter vorhanden, nach dem zweiten Tag noch 80%. Am dritten Tag fallen kaum Blätter; so hängen am Ende des dritten Tages immer noch 80% der Blätter am Baum. Am Ende des vierten Tages sind es noch 60%, am Ende des fünften Tages noch 20%; dann kommt Sturm auf, und am Ende des sechsten Tages ist der Baum kahl. Das folgende Diagramm zeigt den beschriebenen Verlauf.

Wenn ein Blatt einen Tag am Baum verbracht hat, so hat es einen „Blatt-Tag“ absolviert – nur vollendete Tage zählen, keine angebrochenen. Im Verlauf des ersten Tages sind demnach 0.9N Blatt-Tage angesammelt worden, im Verlauf des vierten Tages 0,6N Blatt-Tage.

Ein Blatt, das am Ende eines Tages x am Baum hängt, hat noch eine bestimmte Zahl von Tagen vor sich; diese Zahl ist 0, wenn es im Verlauf des neuen Tages abfallen wird. Wir nennen diese Zahl seine Lebensdauer bezüglich des Tages x . Beispiel: Ein Blatt, das zu Ende des dritten Tages noch am Baum hängt und das im Verlauf des sechsten Tages abfallen wird,

hat die Lebensdauer 2 d ( der angebrochene sechste Tag zählt nicht); bezüglich des Zeitpunktes t = 0 hat es die Lebensdauer 5d.

Von der individuellen, tatsächlichen Lebensdauer bezüglich eines Tages x verschieden ist die Lebenserwartung eines Blattes bezüglich dieses Tages. Diese ist wie folgt definiert. Sie ist der Quotient aus der Summe der Lebensdauern aller am Tag x vorhandenen Blätter und der Anzahl dieser Blätter. Demnach ist sie eine durchschnittliche Lebensdauer: Man erhält die Lebenserwartung, wenn man die Summe aller Blatt-Tage, welche die vorhandenen Blätter noch ansammeln werden, gleichmäßig auf diese aufteilt. Die Definition der Lebenserwartung setzt voraus, dass man alle Lebensdauern, d.h. den gesamten Ablauf des Vorgangs bereits kennt oder einen fiktiven Ablauf zugrunde legt.

1. Erläutern Sie: Die Summe S0 aller Blatt-Tage, welche die N Blätter im Verlauf des Blattfalls ansammeln, ist gegeben durch den Inhalt der Fläche, welche das Diagramm ( die „Treppenkurve“ ) mit den beiden Koordinatenachsen einschließt. Berechnen Sie S0 .

Erläutern Sie ebenso: Die Summe Si ( i = 1,2,3,4,5), welche die am Ende des i-ten Tages noch vorhandenen Blätter im Verlauf des Blattfalls ansammeln werden, ist gegeben durch den Inhalt der Fläche unter dem Teil der Treppenkurve, der rechts von t = i liegt. Berechnen Sie auch diese Summen.

2.

2.1. Berechnen Sie die Lebenserwartung eines Blattes, das zu Beginn der Beobachtungen (t=0) am Baum hängt.

2.2. Berechnen Sie die Lebenserwartung eines Blattes, das

2.2.1. nach zwei Tagen

2.2.2 nach drei Tagen

noch am Baum hängt.

Können Sie eine geometrische Interpretation der Lebenserwartung angeben?

3. Wenn man die Summe S0 ( also die Summe aller Blatt-Tage von Beginn bis Ende des Blattfalls) durch die Dauer des gesamten Blattfalls teilt, so erhält man eine Blattzahl ( als Bruchteil von N ). Welche Bedeutung könnte man dieser Blattzahl beilegen, und wie kann man sie geometrisch interpretieren?

4. Die in den Aufgabenteilen 2 und 3 definierten Mittelwerte sind Beispiele von „Integralmitteln“. Bei dieser Mittelbildung wird die Fläche unter einer Kurve in einem x-y-Koordinatensystem übergeführt in ein Rechteck gleichen Inhalts. Als die eine Seite des Rechtecks wählt man den y-Achsenabschnitt ( im Beispiel 2.1.: N) oder den x-Achsenabschnitt der Kurve ( im Beispiel 3: 6d). Die andere Seite des Rechtecks ist dann das Mittel der anderen Variablen.

Geben Sie ein weiteres Beispiel eines Integralmittels an!


1.

Betrachten wir den ersten Balken des Diagramms. Er hat den Flächeninhalt 0,9N•1d. Das ist die Summe der Blatt-Tage, welche am ersten Tag angesammelt werden. Gehen wir zum zweiten Balken. Der hat die Breite 2d und die Höhe 0,8N; im Verlauf des zweiten und dritten Tages werden zusammen 0,8N•2d Blatt-Tage angesammelt. Im Verlauf des vierten Tages sind es 0,6N•1d, im Verlauf des fünften Tages sind es 0,2N•1d Blatt-Tage; am sechsten kommt laut Definition der Blatt-Tage keiner mehr hinzu. Also gilt auch für den vierten, fünften, sechsten Tag, dass die Summe der an diesen Tagen jeweils angesammelten Blatt-Tage gegeben ist durch den Inhalt der Fläche unter der Treppenkurve.

S0 = 0,9N•1d + 0,8N•2d + 0,6N•1d + 0,2N•1d = 3,3 N•d

Die Summe S0 wird durch die Fläche unter der Treppenkurve repräsentiert ( das ist das bestimmte Integral der Funktion, hier der „Treppenfunktion“).

 

Lässt man in S0 den ersten Summanden weg, so hat man die Blatt-Tage abgezogen, welche am ersten Tag angesammelt werden; es verbleiben die Blatt-Tage (Lebensdauern), welche die nach dem ersten Tag vorhandenen Blätter noch beibringen werden. Man erhält also S1. Ebenso errechnet man die weiteren Si .

 

S1 = 2,4 N•d, S2 = 1,6 N•d, S3 = 0,8 N•d, S4 = 0,2 N•d, S5 = 0

 

Geometrische Interpretation: Si wird repräsentiert durch den Inhalt unter der Treppenkurve rechts von t = i

 

2. 1 Summe der Lebensdauern/Summe der Blätter = S0/N = 3,3d .

Die Lebenserwartung eines Blattes zu Beginn des Blattfalls beträgt 3,3 Tage

 

2.2.1 S2 /(0,8N) = 2d ( und nicht etwa 3,3d – 2d = 1,3 d).

 

2.2.2. S3/(0,8N) = 1 d ( und nicht etwa 3,3d-3d = 0,3d)

 

 

Das dick umrandete Rechteck mit den Seitenlängen N ( Anfangswert, wenn t = 0) und 3,3d(mittlere Lebensdauer, wenn t=0) hat den gleichen Inhalt wie die Fläche unter der Treppenkurve.

 

3. Würde man als eine Rechteckseite den Abschnitt 0 bis 6 auf der t-Achse wählen, so hätte die andere Rechteckseite die Länge 3,3Nd/6d = 0,55N. Der Wert 0,55N kann als die mittlere Blattzahl über den Beobachtungszeitraum von 0 bis 6d aufgefasst werden.

Ich füge noch den Fall 2.1. ( Anfangswert 0,8N) bei. Das dick umrandete Rechteck mit den Seitenlängen 0,8N und 2d ( = 4d-2d) hat den gleichen Inhalt wie die Treppenkurve rechts von t = 2d

 

Übrigens ist die Lebenserwartung nach 4 Tagen nicht etwa 0 - die „Frist“ bei t= 0 war ja nur 3,3d - , sondern gleich 0,2Nd/0,6N = 0,33d, also gleich acht Stunden.

4. Ein Kugelstoßer beschleunige seine Kugel aus der Ruhelage heraus längs einer geraden Strecke, die mit konstanter Neigung schräg nach oben verläuft. Er muss zunächst die Hangabtriebskraft aufbringen, um die Kugel überhaupt auf der Bahn zu halten; die darüber hinaus von ihm aufgewendete Kraft F dient der Beschleunigung der Kugel. Bezeichnet man mit Δt die Zeit, während der die Beschleunigung stattfindet und trägt man F gegen Δt auf, so gibt das Integral unter der Kraft-Zeit-Kurve ( die Fläche unter der Kurve) den Impuls M•v an, mit dem die Kugel davonfliegt. (M bezeichnet die Masse der Kugel, v ihre Geschwindigkeit, mit der sie davonfliegt). Die mittlere Kraft F ist die konstante Kraft, welche der Kugel in der gleichen Zeit den gleichen Impuls verleihen würde. Das Rechteck mit den Seitenlängen F und Δt hat den gleichen Inhalt wie die Fläche unter der Kraft-Zeit-Kurve ( F ist hier grob geschätzt).

Der Kugelstoßer ist also gut beraten, wenn er mit hoher Anfangskraft loslegt – Wert der Kraft zu Beginn der Beschleunigung – dann die Kraft möglichst erhöht, aber doch nicht so, dass er gegen Ende „einbricht“.

 

Ein „Lehrbuchbeispiel“ einer mittleren Lebensdauer ist aus dem radioaktiven Zerfall bekannt. Eine Substanz zerfalle gemäß dem Zerfallsgesetz N(t) = N(0)•exp( - λ•t) .

Die mittlere Lebensdauer ist gleich dem Quotienten aus dem bestimmten Integral von N(t) in den Grenzen von 0 bis unendlich und dem Anfangswert N(0). Das bestimmte Integral erhält man aus der Stammfunktion von N(t), indem man die obere Grenze T über alle Grenzen wachsen lässt: (N(0)/λ)( 1 – exp( - λ•T)) → N(0)/ λ . Division mit N(0) ergibt die mittlere Lebensdauer 1/λ .

Dieser Wert – und das ist typisch für die Exponentialfunktion – ist nicht abhängig vom gewählten Anfangszeitpunkt! Gleichgültig, zu welchem Zeitpunkt man sich den radioaktiven Zerfall anschaut- ob jetzt oder in hunderttausend Jahren – die mittlere Lebensdauer eines noch nicht zerfallenen Teilchens ist gleich 1/λ. Man sagt dazu: Solche Teilchen „altern nicht“.