Jonathan und seine Onkel

Jonathan hat drei spendable Onkel A, B und C. Die drei beschließen, Jonathan insgesamt z € zu schenken. Dazu überweist jeder der drei jeden Monat eine für ihn feste Rate.

Die Bank zahlt keine Zinsen und erhebt erfreulicherweise auch keine Gebühren.

Würde A alleine zahlen, so wären die z € nach anderthalb Jahren erreicht; wenn B alleine zahlte, nach zwei Jahren, wenn C alleine zahlte, nach sechs Jahren.

a) Wie lange dauert es, bis die z € auf Jonathans Konto sind?

b) Nach Erreichen des Zahlungsziels hat Jonathan Glück: Er legt sein Geld bei einem Fonds an, der sechs Jahre in Folge eine jährliche Rendite von 5 % erreicht, d.h. am Ende eines jeden Jahres ist das Kapital um 5% gegenüber dem Wert gewachsen, den es zu Jahresbeginn hatte.

Jonathan kann auch Geld abheben. Während der ersten drei Jahre nach Anlegen seines Geldes hebt er am Ende eines jeden Jahres 15% des vorhandenen Kapitals ab, in den folgenden drei Jahren jeweils 10%. Wie viel Prozent des anfänglichen Kapitals sind nach den sechs Jahren noch vorhanden? ( Ergebnis zum Weiterrechnen: 60 Prozent).

c) Wie groß war Jonathans durchschnittlicher jährlicher Verlust ( wir zählen hier die Abhebungen als Verlust) ? Das heißt: Um welchen gleichbleibenden Prozentsatz hätte das Kapital in jedem Jahr abnehmen müssen, um am Ende der sechs Jahre bei 60 Prozent des Anfangswertes anzukommen?

d) Nach Ablauf der sechs Jahre möchte Jonathan seinen Verlust wieder wettmachen, indem er keine Abhebungen mehr tätigt. Der Fonds erreicht allerdings nur noch eine jährliche Rendite von 3 %. Wie lange müsste Jonathan unter dieser Bedingung sein Geld dem Fonds überlassen?


a) Die Monatsrate von A beträgt z/18, die von B beträgt z/24, die von C beträgt z/72

Addiert man die drei Raten, so erhält man als gesamte monatliche Rate 4z/72 + 3z/72 + z/72 = 8z/72 = z/9 .

Es dauert 9 Monate, bis die z € auf Jonathans Konto sind.

 

b) Am Ende des ersten Jahres hat das Kapital den Wert z•1,05•0,85, am Ende des zweiten Jahres den Wert z•1,052•0,852, am Ende des dritten Jahres den Wert z•1,053•0,853, am Ende des sechsten Jahres den Wert z•1,056•0,853•0,93 ≈ z•0,6. Am Ende des sechsten Jahres sind noch 60% des anfänglichen Kapitals vorhanden.

 

c) x6 = 0,6. Es folgt x = 0,918 . Der durchschnittliche jährliche Verlust beträgt 8,2%.

 

d) 1,03x•0,6 = 1 → 1,03x = 1/0,6 ≈ 1,67 → x = log(1,67)/log(1,03) ≈ 17,35 .

Jonathan müsste 18 Jahre warten, bis sein Verlust wieder ausgeglichen wäre.

 

Hinweis zu Aufgabenteil a)

Würde A, B, C jeweils alleine zahlen, so wären die individuellen Laufzeiten der Ratenzahlungen 18, 24, 72 Monate. Wenn sie zusammen zahlen, beträgt die Laufzeit 9 Monate. Würden während dieser 9 Monate alle gleich viel zahlen, so müsste jeder die Monatsrate z/27 aufbringen. 27 Monate könnte man deshalb als mittlere individuelle Laufzeit bezeichnen. Diese ist das harmonische Mittel der drei Laufzeiten, denn : 1/18 + 1/24+ 1/72 = 1/9 = 3/27