Mathematik auf dem Sportplatz

Vorab einige Erläuterungen zu Begriffen der Statistik, die in der Aufgabe verwendet werden.

Seien a1, a2, ...., an n positive Zahlen. Das arithmetische Mittel A oder der Durchschnitt ist der Quotient aus der Summe dieser n Zahlen und der Zahl n. A = (a1 + a2 +...+an)/n .

Das geometrische Mittel G ist die n – te Wurzel aus dem Produkt dieser n Zahlen bzw.

G n = a1•a2• ....•an .

 

Das harmonische Mittel H ist der reziproke Wert des arithmetischen Mittels der reziproken Werte der n-Zahlen: H = n/(1/a1 + 1/a2 + ...+1/an)

oder 1/a1 + 1/a2 + ...+1/an = n/H .

Sind die n Zahlen a1, a2, ....,an die Ergebnisse (Messwerte) von n Versuchen – z.B. die Weiten von n Weitsprüngen oder von n Würfen - , und haben alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit ( umgangssprachlich: hat man aus den Ergebnissen die „Ausreißer“ entfernt), so ist der Erwartungswert E gleich dem Durchschnitt der Messwerte und die Streuung σ gleich dem quadratischen Mittel der Differenzen von E und den Messwerten:

σ = ( ( x12 + x22 + ....+ xn2)/n )1/2 mit xi = E – ai ; i = 1,2,….n

 

Ordnet man die Zahlen a1, a2,...,an der Größe nach, so bezeichnet der Median diejenige dieser Zahlen, welche bei ungeradem n gleich viele Zahlen über sich wie unter sich hat; bei geradem n ist der Median gleich dem Durchschnitt der beiden mittleren Werte.

1) Gregor ist Trainer einer Gruppe von sieben Sprintern. Einer davon ist in der nationalen Spitzenklasse; seine Bestzeit über 100 m beträgt 10,1 sec. Die übrigen sechs Läufer haben folgende 100 m – Bestzeiten: zweimal 11,0 sec, einmal 11,5 sec, einmal 11,6 sec und zweimal 11,7sec.

1.1.  Ein Reporter einer Lokalzeitung möchte einen der Läufer interviewen; dessen Leistungsfähigkeit soll „typisch“ für die Gruppe sein. Zeigen Sie: Wenn Gregor den Durchschnitt der Bestzeiten als die dazu geeignete Kennzahl nimmt, so wird er den Läufer mit der Bestzeit 11,0 sec auswählen; nimmt er statt dessen den Median, so wäre der Läufer mit der Bestzeit 11,5 sec an der Reihe. Welche Vor-bzw. Nachteile haben Durchschnitt und Median als Maß des Mittelwertes?

1.2.  Gregor bildet eine 4 x 100 m – Staffel. Die Geschwindigkeiten seiner vier Läufer werden mit v1, v2, v3, v4 bezeichnet. Er überlegt sich, welche Geschwindigkeit v ein 400 m- Läufer haben müsste, der die Runde in der gleichen Zeit zurücklegen würde wie seine Staffel. Zeigen Sie: v ist das harmonische Mittel aus v1, v2, v3, v4 .

2) Silke ist Mehrkämpferin. Sie hat sieben Mal in Folge an den jährlichen Landesmeisterschaften teilgenommen. Ihre Leistungen haben sich dabei wie folgt entwickelt (alle angegebenen Änderungen beziehen sich jeweils auf das Vorjahr). Bei ihrer ersten Landesmeisterschaft hat sie 5500 Punkte erreicht. Im darauf folgenden Jahr steigerte sie sich um 12%, im nächsten Jahr um 15%. Danach blieben ihre Leistungen zwei Jahre in Folge unverändert; beim sechsten Mal fielen ihre Leistungen um 25%ab, beim siebenten und vorerst letzten Mal um 2%.

Wie viele Punkte hat Silke beim siebenten Wettkampf erzielt? Angenommen, ihre Leistungen hätten sich in jedem Jahr um den gleichen Prozentsatz p geändert, und Silke hätte beim letzten Wettkampf das gleiche Ergebnis erzielt: Berechnen Sie p .

3) Silke stellt fest, dass das Endergebnis in 2) unabhängig von der Reihenfolge der Änderungen sind; sie hätte z.B. im ersten Jahr um 2% abfallen und dafür im letzten Jahr sich um 12% steigern können (Woran liegt das?). Bald aber erfährt sie, dass solche „Kommutativität“ nicht bei jeder mathematischen Operation gegeben ist. Silke trainiert eine Mädchengruppe, die Faustball spielt. In der heutigen Trainingseinheit sollen die Spielerinnen an die Ausmaße des Spielfeldes gewöhnt werden und rasche, geordnete Stellungswechsel üben. Zu Beginn stellen sich die sechs Spielerinnen 1 bis 6 in dieser Reihenfolge auf die sechs vorbezeichnete Plätze I bis VI auf . Wenn Silke dann zwei Zahlen zwischen 1 und 6 aufruft, so müssen die Spielerinnen mit diesen Nummern ihre Plätze tauschen. Ein Platzwechsel lässt sich also durch ein Zahlenpaar (a, b) beschreiben. Zwei aufeinanderfolgende Platzwechsel kann man als eine Verknüpfung von Platzwechseln auffassen und z.B. mit dem Multiplikationszeichen • kennzeichnen. Zeigen Sie: Die Operation • ist nicht kommutativ. Das heißt: Es kann sein, dass nach der Operation (a,b)•(c,d) sich eine andere Verteilung der Spielerinnen auf die Plätze ergibt als nach der Operation (c,d)•(a,b) ( a,b,c,d müssen nicht paarweise voneinander verschieden sein). Es ist noch zu vereinbaren, in welcher Reihenfolge bei der Operation (a,b)•(c,d) die beiden Vertauschungen durchzuführen sind. Wir folgen hier der meist vereinbarten Reihenfolge: Erst (c,d), dann (a,b) .

4) Auf der Kugelstoßbahn legt Kurt gerade die Prüfung zum Sportabzeichen ab. Er hat drei Versuche. Wie fast immer liegen Kurts Weiten in einem kleinen Intervall um die 9,00m herum; jedenfalls war heute kein Ausreißer dabei, mit jedem der drei Ergebnisse konnte man mit gleicher Wahrscheinlichkeit rechnen . Die drei Versuche ergaben 8,90m, 9,10m, 9,05m. Berechnen Sie die Streuung der Versuche.


1.1. Der Median ist 11,5 sec. Der Durchschnitt ist ( 10,1 + 22 + 11,5 + 11,6 + 23,4)/7 = 11,2

Von den gegebenen Werten liegt 11,0 in kleinster Entfernung vom Durchschnitt.

Offenbar zieht der extreme Wert 10,1 den Durchschnitt „zu sich heran“. Er fällt besonders stark ins Gewicht. Beim Median spielt er keine besondere Rolle. Das ist ein Vorteil des Median bzw. ein Nachteil des Durchschnitts. Andererseits lässt der Median nicht erkennen, dass ein extremer Wert vorhanden ist, da er diesen nicht heraushebt.

1.2. Seien t1, t2, t3, t4 die Zeiten der Staffelläufer über ihre jeweiligen 100 m. Der vierhundert Meter - Läufer muss in der Zeit t1 + t2 + t3 + t4 die Runde laufen, also: v = 400/( t1+t2+t3+t4)

Daraus folgt v = 400/( 100/v1 + 100/v2 + 100/v3 + 100/v4) = 4/(1/v1 + 1/v2 + 1/v3 + 1/v4)

2) Silkes Punktzahl nach dem 1. Jahr: 5500•1,12; nach dem 2. Jahr: 5500•1,12•1,15,

nach dem 3. Jahr: 5500•1,12•1,15•1; dem 4. Jahr: 5500•1,12•1,15•1•1,

dem 5. Jahr 5500•1,12•1,15•1•1•0,75; schließlich nach dem 6. Jahr ( im siebenten Wettkampf) 5500•1,12•1,15•1•1•0,75•0,98 = 5500•0,9467 = 5207 .

Der mittlere Wachstumsfaktor sei x; es muss gelten: x6 = 0,9467 : Der mittlere Wachstumsfaktor ist das geometrische Mittel aus den einzelnen Wachstumsfaktoren. x ist die sechste Wurzel aus 0,9467; x = 0,99 .

Wenn Silke jedes Jahr ihre Leistung um 1% verringert hätte, wäre sie nach 6 Jahren ( im siebenten Wettkampf) bei der gleichen Leistung angekommen wie im tatsächlichen Verlauf.

Man kann sagen: Die mittlere prozentuale Änderung ist gleich -1 ( und keineswegs gleich Null: Die 12% und 15% Steigerung dürfen nicht einfach addiert und mit den prozentualen Verminderungen von 25% und 2% zu Null verrechnet werden! Das wäre ein Fehler: Mittlere Wachstumsfaktoren sind geometrische, nicht arithmetische Mittelwerte).

3) Führt man (1,3)•(3,5) (erst (3,5), dann (1,3)) aus, so steht danach Spielerin 1 auf Platz 3; führt man (3,5)•(1,3) aus, so steht danach Spielerin 1 auf Platz 5.

4) E = (8,9+9,1+9,06)/3= 9,02; σ2 = ((0,12)2+(0,08)2+(0,04)2)/3 und σ = 0,086. Die Streuung beträgt 8,6cm.

 

Einige Mittelwerte lassen sich gut geometrisch veranschaulichen.

 

 

Geometrische Deutung verschiedener Mittelwerte

 

Seien a, b positive Zahlen; sie werden durch zwei Strecken dargestellt.

Das arithmetische Mittel oder der Durchschnitt M = (a+b)/2

Das geometrische Mittel G = (a•b)1/2

Verwandle ein Rechteck mit den Seitenlängen a, b in ein flächengleiches Quadrat. Dessen Seite ist das geometrische Mittel aus a und b.

Nach dem Höhensatz ist im rechtwinkligen Dreieck h2 = p•q, wobei p,q die Teile der Hypotenuse sind, welche durch den Fußpunkte der Höhe geteilt wird.

Die dick eingetragene Höhe h ist das geometrische Mittel der beiden Hypotenusenabschnitte p und q. Die Katheten sind nur aus „dekorativen“ Gründen eingefügt worden.

Das harmonische Mittel H ist gegeben durch: 1/a + 1/b = 2/H

oder H = 2ab/(a+b) = ab/((a+b)/2)

 

Das Rechteck mit den Seiten a, b ist durch ein flächengleiches Rechteck zu ersetzen, dessen eine Seite gleich dem Durchschnitt aus a und b ist; seine andere Seite ist das harmonische Mittel H.

Das quadratische Mittel Q ist die Wurzel aus dem Durchschnitt der Quadrate von a und b:

Q = ( (a2 + b2)/2 )1/2 . Man bildet ein Quadrat, dessen Inhalt gleich dem Durchschnitt der Inhalte der Quadrate mit den Seitenlängen a und b ist. Dessen Seitenlänge ist das quadratische Mittel Q aus a und b.

Das antiharmonische Mittel ist die Wurzel des Quotienten aus der Summe der Quadrate von a und b und der Summe aus a und b :

AH = ( (a2 + b2)/(a + b) )1/2 . Man fügt die beiden Quadrate a2 und b2 aneinander; es entsteht eine Grundseite der Länge (a + b). Diese bildet eine Seite eines Rechtecks, dessen Inhalt gleich der Summe der Inhalte der beiden Quadrate ist. Die andere Seite des Rechtecks ist das antiharmonische Mittel.