Quer durch das kleine Einmaleins

Diese Aufgabe wendet sich an Jungen und Mädchen bis Klassenstufe 7 ( Gerne können auch Ältere mitmachen, aber bitte nicht wundern, wenn man im folgenden geduzt wird). Es geht um einige Eigenschaften des Kleinen Einmaleins. Lege Dir dazu eine Tabelle nach folgendem Muster an. Einige der Zellen sind schon ausgefüllt, um zu erklären, wie die Tabelle anzulegen ist.

Um den Inhalt einer Zelle zu erhalten, bildet man zunächst das Produkt aus der Zahl, die in der zugehörigen Spalte der ersten Zeile steht, und der Zahl, die in der zugehörigen Zeile der ersten Spalte steht. Wäre das schon alles, so würde man die Tabelle des kleinen Einmaleins erhalten. Aber in die Zellen kommt nur die letzte Ziffer des Produktes, das heißt dessen Rest bei Division durch 10.

So entstehen die hier aufgeführten Zahlen 0,4,9 als die Produkte 0•2 , 2•2, 3•3. Weil diese Produkte einstellig sind, ergeben sie schon gleich den Zehnerrest. In solchen Zellen stimmt unsere Tabelle überein mit der bekannten Einmaleins-Tabelle. Dagegen ergibt sich die Zahl 0 in der Spalte unter der Ziffer 5, indem man 2•5 = 10 rechnet und nur die 0 einträgt. Die Zahl 5 in der Zelle direkt darunter ergibt sich als letzte Ziffer des Produktes 3•5= 15. Und so erhält man z.B. Eintragungen 2 als Rest des Produktes 6•2= 12, Eintragungen 6,9,1 als Reste der Produkte 9•4 = 36, 7•7 = 49, 9•9 = 81

Nachdem die Tabelle fertig gestellt ist, besteht die Aufgabe darin, die Merkmale dieser Tabelle aufzuschreiben. Denn Du wirst einige Muster und Regelmäßigkeiten darin feststellen. Beschreibe diese in Deinen eigenen Worten.

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Zu den Eigenschaften dieser Tabelle.

- Die Zeilen und die Spalten, welche die gleiche Nummer haben ( 0, 1, 2, ...9) sind einander gleich. Das ist bereits in der Tabelle des kleinen Einmaleins der Fall. Denn wenn man bei der Multiplikation zweier natürlicher Zahlen deren Reihenfolge vertauscht, bleibt das Ergebnis gleich ( z.B. 3•4 = 4•3; man sagt, die Multiplikation der natürlichen Zahlen ist „kommutativ“). Der Einfachheit halber sagen wir von jetzt an statt „Zeile mit der Nummer 5“ oder „Spalte mit der Nummer 5“ nur noch „Zeile 5“ bzw. „Spalte 5“. Da Zeilen und Spalten mit der gleichen Nummer gleich sind, genügt es, wenn wir uns auf die Spalten konzentrieren.

- Nur die Spalten 1, 3, 7, 9 enthalten alle zehn Ziffern von 0 bis 9, wenn auch jeweils in einer anderen Reihenfolge. Sie sind auch die einzigen Spalten, in denen die 1 vorkommt. In anderen Worten: Das „Einmaldrei“, und das „Einmalsieben“ und das „Einmalneun“ enthalten als Zehnerreste alle Ziffern von 0 bis 9; keine zwei Zahlen in diesen Reihen enden auf der gleichen Ziffer.

-        Die Spalten 2, 4, 6, 8 enthalten jeweils die gleichen fünf Zahlen 0,2,4,6,8, wenn auch jeweils in einer anderen Reihenfolge. Die Zahlenfolge in einer Spalte wiederholt sich in genau gleicher Weise ( man sagt: sie ist „zyklisch“).

-        Bleibt noch Spalte 5. Sie besteht aus der zyklischen Ziffernfolge 0,5.

Das wären einige Eigenschaften, die man aus der Tabelle ablesen kann. Es folgen jetzt ein paar Überlegungen, die Dir etwas vertrickst vorkommen mögen. Aber es sind Pfade, die weit in die Mathematik hineinführen. Wenn Du etwas Zeit und Geduld hast, so folge ihnen!

Hätte man sich von vornherein davon überzeugen können, dass die Spalten diese Eigenschaften haben? Anders ausgedrückt: Hätten wir uns diese Eigenschaften der

Einmaleins-Zehnerreste-Tabelle ausdenken können, bevor wir sie ausgerechnet und aufgelistet haben? Sehen wir zu! Stellen wir uns also vor, wir hätten die Tabelle noch nicht vor Augen.

Kann es vorkommen, dass in Spalte 7 zwei Zahlen stehen, die einander gleich sind?

Nehmen wir an, in Spalte 7 seien zwei Zahlen gleich. Das bedeutet, die Zahlen

x•7 und y•7 hätten den gleichen Zehnerrest, wobei x, y zwei verschiedene Zahlen zwischen 0 und 9 wären. Dann würde die Differenz (x – y)•7 auf Null enden, wäre also ein Vielfaches von 10. Aber kann das denn sein? Dazu müsste (x – y) ein Vielfaches von 10 sein. Aber (x–y) ist kleiner als 10 und außerdem von Null verschieden. Es kann also nicht sein: Keine zwei Ziffern in Spalte 7 sind einander gleich.

In gleicher Weise können wir uns davon überzeugen, dass in den Spalten 1, 3, 9 keine zwei Zahlen einander gleich sein können.

Schauen wir uns jetzt die Spalten 2, 4, 6, 8 an. Kann z.B. ( x – y )• 4 ein Vielfaches von 10 sein ? ( (x-y) ist wieder eine Zahl zwischen 1 und 9 ). Ja, und zwar genau dann, wenn

x – y = 5 ist! . Denn genau dann ist in dem Produkt der Faktor 10 enthalten:

5•4 = 5•(2•2) = (5•2)•2 = 10•2 . Wir sehen: In der Spalte 4 liegen zwei gleiche Zahlen genau fünf Zeilen weit auseinander. Die Spalte 4 besteht also aus einem Fünfer-Zyklus.

Welche Ziffern können darin vorkommen? Nur die geraden Zahlen zwischen 0 und 9, denn alle Vielfachen von 4 sind gerade, und eine solche Zahl minus einem Vielfachen von 10 ergibt als Differenz zweier gerader Zahlen wieder eine gerade Zahl. Die Spalte 4 besteht also aus einem Zyklus aus den fünf geraden Zahlen zwischen 0 und 8 .

Alle Überlegungen, die wir zur Spalte 4 angestellt haben, lassen sich in denselben Schritten im Fall der Spalten 2, 6, 8 durchführen.

Dass die Spalte 5 aus dem Zyklus 0,5 besteht, folgt daraus, dass jedes geradzahlige Vielfache von 5 den Zehnerrest 0, jedes ungeradzahlige Vielfache von 5 den Zehnerrest 5 hat.

Schauen wir uns noch einmal die Spalten 2, 4, 6, 8 an. Die Spalte 2 kommt uns ja noch recht „geordnet“ vor: Sie besteht aus dem Zyklus 0, 2, 4, 6, 8; ganz so wie es sich aus dem Einmaleins direkt ergibt. Die Spalte wird aus der Zahl 2 durch fortlaufende Addition von 2 erzeugt. Aber Spalten 4, 6, 8 ? Wird Spalte 4 auf eben diesem Weg aus 4 erzeugt? Dann wäre z.B. 8 + 4 = 2?? Aber wie addierst Du denn 8 + 4? „Zwei hin, eins im Sinn“ ! Nur dass bei der Addition von Zehnerresten das „im Sinn“ entfällt... Die Elemente des Zyklus 2, 4, 6, 8 , 0 lassen sich von 2, aber auch von jedem anderen seiner Elemente erzeugen.

Wie die Spalten 1, 3, 7, 9 zeigen, lassen sich alle zehn Zehnerreste von 0 bis 9 aus jeder der Zahlen 1,3,7,9 erzeugen, aber nicht aus den geraden Zahlen 2,4,6,8 und auch nicht aus der Zahl 5. Die Spalten 1,3,7,9 werden genau aus den Zahlen 1,3,7,9 erzeugt.

Fassen wir zusammen, was wir in die Tabelle mit den Zehnerresten des Einmaleins gesehen haben.

Die Zeilen bzw. Spalten bestehen aus drei zyklischen Gruppen. Eine enthält alle zehn Zehnerreste ( man sagt, sie habe „die Ordnung“ 10), und sie lässt sich von den Resten 1, 3, 7, 9 erzeugen. Das sind genau die Zahlen unter den Zehnerresten, welche keinen gemeinsamen Teiler mit 10 haben.

Eine zweite Gruppe besteht aus den fünf Resten 0,2,4,6,8; sie hat die Ordnung 10:2 =5, und sie wird vom Rest 2 ( aber auch von den anderen Elementen 4,6,8 der Gruppe) erzeugt.

Die dritte Gruppe schließlich besteht aus den zwei Resten 5 und 0; sie hat die Ordnung

10:5 = 2 , und sie wird vom Rest 5 erzeugt.

Jetzt sind wir mitten in der Fachsprache angelangt! Sie ist hilfreich, ja unverzichtbar, wenn man seine Ergebnisse und Einsichten ordnen und zusammenfassen will, um dann von der so geschaffenen Grundlage aus Neues zu erkunden. Aber unser Ausflug in die Mathematik hat uns schon weit geführt; für heute mag er genügen.