Das Problem der hundert Vögel

Aus einem Buch des chinesischen Mathematikers Chang Ch'iu-chien (um 475 n.Chr.)


Ein Hahn kostet 5 Sapeks, eine Henne 3 Sapeks und 3 Küken kosten 1 Sapek. Wie viele Hähne, Hennen und Küken, insgesamt 100, kosten 100 Sapeks?

Wir wollen alle Lösungen finden.

 Wenigstens ein Problem gibt es bei der Aufgabe nicht: Man muss nicht lange herumrätseln, was denn eigentlich gesucht ist. Es sind die Anzahlen an Hähnen, Hennen , Küken gesucht.

 x: Anzahl der Hähne,    y: Anzahl der Hennen,  z : Anzahl der Küken

 Überlegen wir, welche Werte x, y, z annehmen können (  Das ist die Frage nach der „Grundmenge“).  Nun kann es ja keine halben Hähne, Hennen, Küken geben: x,y,z müssen natürliche Zahlen sein ( Die Grundmenge ist die Menge der natürlichen Zahlen. Nehmen wir noch die Null dazu, dann haben wir den Fall eingeschlossen, dass jemand z.B. keinen Hahn kaufen will).

Und sie müssen zusammen 100 ergeben....Gemach, das ist schon ein erster Ansatz! Und der zweite ergibt sich daraus, dass der Gesamtpreis 100 Sapeks beträgt.

 I)           x            +            y          +            z          =            100

 II)        5x        +          3y            +            z/3       =            100

 Der Bruch in II) ist lästig. Wir werden ihn los, indem wir II) auf beiden Seiten mit 3 multiplizieren:

 I)           x        +            y            +            z          =            100

 II)        15x        +          9y        +            z            =            300

 

Differenz II) – I)

14x      +            8y            =  200    oder   

7x        +             4y            =            100

Schauen wir uns diese Gleichung etwas genauer an.  x, y sind natürliche Zahlen. 100 ist ebenso wie 4y durch 4 teilbar. Da 7x = 100 – 4y , muss auch 7x durch 4 teilbar sein. Das ist  nur möglich, wenn x gleich Null oder ein Vielfaches von 4 ist. Und jetzt sind wir soweit, dass wir die Lösungen der Reihe nach aufschreiben können.

x                 

y  =  ( 100 – 7x)/4

 z = 100 – ( x +y)

   0    

      25

             75

   4

       18                                 

             78

   8

      11

             81

   12               

        4

             84

                                

Warum hören wir bei x = 12 auf ? Was würden wir für x = 16 erhalten? y = - 3 und z = 87. Das wäre die Situation, dass jemand 12 Hähne und 87 Küken damit bezahlt, dass er 100 Sapek und 3 Hühner hinlegt! Vom Preis her würde das stimmen: Die 87 Küken kosten 29 Sapek, die 16 Hähne 80 Sapek, macht zusammen 109 Sapek. Legt er 100 Sapek und drei Hühner hin ( jedes zu 3 Sapek), so hat er 109 Sapek zusammen.

Würden wir also zulassen, dass auch mit Hähnen, Hühnern oder Küken bezahlt werden könnte, so gäbe es unendlich viele Lösungen. Dann müssten wir allerdings unsere Grundmenge auf die Menge der ganzen Zahlen erweitern. Für x würden allen ganzzahligen Vielfachen von 4 auftreten – also auch –4, -8, u.s.w. . Immerhin hätten wir auch für diesen Fall die Lösungsmenge bestimmt, wenn es auch unmöglich wäre, alle Lösungen einzeln hinzuschreiben.

Die Lösungsmenge wäre:  (  (x|y|z)  |  x = 4r , rε Z; y = (100-7x)/4; z=100-(x+y) )