Hans und das Klassenfest

Hans soll für ein Klassenfest Getränke besorgen. Ihm stehen 62€ zur Verfügung.
In einem Geschäft findet er das Richtige, wobei eine Packung 5€ kostet. Er kauft einige davon. Wenig später findet er in einem zweiten Geschäft die gleichen Packungen, wobei allerdings eine Packung nur 4€ kostet.
Er gibt sein gesamtes restliches Geld für den Kauf einige dieser Packungen aus.

Wie viele Packungen hat er im ersten Geschäft, wie viele im zweiten gekauft?
Gibt es mehrere Lösungen?

Hans verrät uns nun: Wenn ihr die Anzahl der Packungen, die ich im zweiten Geschäft gekauft habe, verdreifacht und vom Ergebnis 18 subtrahiert, so erhaltet ihr die Anzahl der Packungen, die ich im ersten Geschäft gekauft habe.


Wir bezeichnen mit x die Anzahl der Packungen, die Hans im ersten Geschäft gekauft hat, mit y die Anzahl der Packungen, die Hans im zweiten Geschäft gekauft hat.

x und y sind natürliche Zahlen ( er kauft keine Teile von Packungen); die Grundmenge ist also N. (Die Möglichkeit, dass er im ersten Geschäft sein gesamtes Geld ausgibt, existiert nicht, da 62 nicht durch 5 teilbar ist; ebenso scheidet die Möglichkeit aus, dass er im ersten nichts einkauft und im zweiten alles ausgibt).

Ansatz:

5x + 4y = 62

Û 5x = 62 – 4y

Û       5x = 2( 31 – 2y)

5x muss demnach eine gerade Zahl sein ; da 5 ungerade ist, muss x eine gerade Zahl sein.

Und x darf nicht größer als 10 sein, da für x = 12 sich ergeben würde: 4y = 2 ,und das kann nicht sein, da y ganzzahlig sein muss.

Wir probieren die fünf verbleibenden Möglichkeiten aus.

X

5x

62-5x

y = (62-5x)/4

 

2

10

52

13

Lösung! Probe: 5·2+4·13=62

4

20

42

10,5

Keine Lösung

6

30

32

8

Lösung!Probe:5·6+4·8=62

8

40

22

5,5

Keine Lösung

10

50

12

3

Lösung!Probe:5·10+4·3=62

Es ergeben sich zunächst drei Lösungen. Nimmt man die zweite Bedingung hinzu, welche Hans uns verrät, so bleibt nur die Lösung ( 6 | 8 ) übrig.

Nimmt man von vornherein beide Angaben von Hans in den Ansatz auf, so sieht die Sache wie folgt aus:

5x + 4y = 62 und 3y – 18 = x ; Einsetzen von x = 3y-18 in die erste Gleichung ergibt:

5( 3y – 18) + 4y = 62 Û 15y – 90 + 4y = 62 Û 19y = 152

Û y = 8 und x=24 – 18 = 6