Der Weg des Wachmannes

Die folgende Aufgabe ist eine Variante einer Aufgabe aus einer Vorrunde der Mathematikolympiade des Schuljahres 1994/95.


Der Weg eines Wachmannes führt jeden Tag an der Front eines langgestreckten Gebäudes entlang. Am Ende des Gebäudes setzt er eine Meldung ab, und dann geht er seinen Weg genau wieder zurück. Er hat an der Front des Gebäudes drei Türen A,B,C jeweils genau einmal zu kontrollieren. Dabei ist es ihm freigestellt, ob er sie auf dem Hinweg zum Meldepunkt oder aber auf dem Rückweg kontrolliert. Zwei Kontrollgänge gelten als gleich, wenn er jeweils die gleichen Türen auf dem Hinweg kontrolliert hat; sonst gelten sie als verschieden.

Wie viele verschiedene Kontrollgänge gibt es?
Wie viele verschiedene Kontrollgänge gäbe es, wenn er 4 Türen zu überprüfen hätte?
Wie viele verschiedene Kontrollgänge gäbe es, wenn er n Türen zu überprüfen hätte?


Der Wachmann muss sich beim Hinweg vor jeder Tür entscheiden, ob er sie gleich kontrolliert („ja“) oder erst auf dem Rückweg („nein“). Wir markieren die Entscheidung „ja“ durch eine „I“, die Entscheidung „nein“ durch eine „0“. Ein Kontrollgang ist damit durch drei aufeinanderfolgende solcher Entscheidungen bestimmt ( definiert ).

Wir listen die Kontrollgänge auf.

A

B

C

0

0

0

0

0

I

0

I

0

0

I

I

I

0

0

I

0

I

I

I

0

I

I

I

 

Wir können die Kontrollgänge auch durch die Zweige eines Baumdiagramms darstellen.

Es sind 2•2•2 = 23 Kontrollgänge

Hätte er vier bzw. n Türen zu kontrollieren, so würde das Baumdiagramm viermal bzw. n-mal in zwei Zweige aufspalten; es wären dann 24 = 16 bzw. 2n Kontrollgänge.

Wir wollen noch ein wenig bei der Aufgabe verweilen.

Die Tabelle enthält die Zahlen Null bis sieben im Dualsystem; bei n Türen wären es die Zahlen von Null bis 2n – 1 im Dualsystem, also 2n Zahlen.

Am Beispiel dieser Aufgabe lassen sich viele Themen der Wahrscheinlichkeitsrechnung illustrieren.

Etwa die Frage, wie viele Teilmengen einer n-elementigen Menge es gibt . Denn die Bildung einer Teilmenge kann man sich so vorstellen, dass man sich Element für Element der Menge vornimmt und bei jedem entscheidet, ob es zur Teilmenge gehört oder nicht. Und so repräsentiert jeder Kontrollgang eine Teilmenge: Der Wachmann geht von Tür zu Tür und entscheidet, ob er sie auf dem Hinweg kontrolliert oder nicht. Es gibt also 2n Teilmengen einer n-elementigen Menge.

Und wie viele Kontrollgänge gibt es, bei denen auf dem Hinweg m Türen kontrolliert werden? Das ist die Frage danach, wie viele m-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge es gibt. Ein bekanntes Problem: Es sind „n über m“.

Und wenn man das obige Baumdiagramm auf den Kopf stellt, so hat man das Galtonsche Brett ( das Pascalsche Dreieck) vor Augen.

Und jetzt laufen wir zum Schluss noch ganz weit in die Wahrscheinlichkeitsrechnung hinein:

Der Wachmann soll sehr viele Türen kontrollieren müssen, aber seine Tendenz zum Kontrollieren ist auf dem Hinweg sehr klein ( die Wahrscheinlichkeit p, eine Tür auf dem Hinweg zu kontrollieren soll für alle Türen gleich, aber sehr viel kleiner als 1 sein). Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass er von den n Türen m auf dem Hinweg kontrolliert?

Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich durch die Poisson-Näherung ungefähr bestimmen:

Sie ist annähernd gleich (np)m• e – np /m!

( m! = 1•2•3•.....•(m-1)•m)

Und kommt eine solche Situation denn vor ( das Aufgabenbeispiel wirkt hier doch sehr überstrapaziert) ? Ja, ständig, und zwar in jedem von uns und überall um uns herum.

Denn den radioaktiven Zerfall kann man sich genau so vorstellen. Es ist so, als ob ständig alle noch nicht zerfallenen Kerne der Reihe nach „abgefragt“ werden würden, ob sie in der nächsten Sekunde zerfallen werden. Die Wahrscheinlichkeit für ein „ja“ des einzelnen Kerns ist sehr klein, aber es gibt ungeheuerlich viele Kerne ( In einem Gramm so ungefähr 1021).

Das klingt nach science fiction. Ist es genau genommen auch. Was wir wissen, ist, dass der radioaktive Zerfall entsprechend einer Poisson-Näherung geschieht. Aber es ist keinesfalls zwingend, sondern nur naheliegend, daraus zu folgern, dass dann die Voraussetzungen zutreffen müssen, unter denen sich mathematisch eine Poisson-Näherung ergibt. Die Natur könnte ja auf einem ganz anderen, für uns zunächst nicht verständlichen Weg zu so einem Verhalten kommen. Sind die Voraussetzungen gegeben, so folgt die Poisson-Näherung, aber die Umkehrung muss keineswegs zutreffen.

Aber die Annahme, dass dann, wenn ein Naturgesetz einer mathematischen Formel gemäß abläuft, auch die Voraussetzungen der Formel in der Natur realisiert sind, ist meist erfolgreich. Die Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben, stellte schon Galilei verwundert fest. Und wenn mit der Gültigkeit der Poisson-Näherung beim radioaktiven Zerfall auch ihre Voraussetzungen in der Natur realisiert wären: Was würde das im Einzelnen bedeuten?

Es würde bedeuten, dass die Atome unabhängig voneinander wären in dem Sinne, dass es einem Atom sozusagen gleichgültig ist, ob sein Nachbar zerfällt oder nicht . Es würde vor allem bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Atom in der nächsten Sekunde zerfällt, sich mit der Zeit nicht ändern würde, sondern über die ganze Lebenszeit des Atoms hinweg gleich bliebe. Dass also ein Atom in diesem Sinne nicht "altern" würde. Es scheint sich tatsächlich so zu verhalten, aber jetzt haben wir uns wirklich sehr weit verlaufen. Auf Wiedersehen bei dem nächsten Aufgabenbeispiel.