Das hilfreiche Venn-Diagramm

Manche Aufgabentexte sind mit Informationen geradezu vollgestopft:
Wenn man sie zu Ende gelesen hat, so ist einem der Anfang schon wieder entfallen. In solchen Fällen sind oft Skizzen sehr hilfreich.
Die folgende Aufgabe stammt aus der dritten Stufe eines Landeswettbewerbs der Mathematikolympiade im Jahr 1993/94. Gedacht war sie für die Klassenstufe 8, und mit den Voraussetzungen, die bis Klassenstufe 8 geschaffen sein sollten, ist sie auch lösbar.



In der Sprachfix-Schule zu Lernhausen sind 120 Schüler. Jeder von ihnen lernt mindestens eine der Sprachen Englisch, Latein, Französisch. Der Reporter Schreibklug erfährt darüber hinaus folgende Tatsachen.
  1. Für genau 102 der 120 Schüler gilt: Jeder von diesen lernt mindestens eine der Sprachen Englisch, Latein.
  2. Für genau 75 der 120 Schüler gilt: Jeder von diesen lernt mindestens eine der Sprachen Latein, Französisch.
  3. Genau 18 der 120 Schüler lernen nur Latein.
  4. Die Zahl der Schüler, die genau die beiden Sprachen Englisch und Latein lernen, ist um 9 größer als die Zahl der Schüler, die genau die beiden Sprachen Latein und Französisch lernen.
  5. Keiner der 120 Schüler lernt sowohl Englisch als auch Französisch.
Schreibklug möchte berichten, wie viele der Schüler genau eine der drei Sprachen und wie viele der Schüler genau zwei der drei Sprachen lernen. Sind diese Zahlen mit Hilfe der Angaben eindeutig bestimmt? Finde diese Zahlen gegebenenfalls heraus.

Der Aufgabentext ist in der Tat verwirrend. Eine Hilfe ist in solchen Fällen das Venn-Diagramm. Man stellt die Lösungsmengen als Flächen dar. Dabei kommt es nicht auf zeichnerische Perfektion an.

Im folgenden Diagramm bedeuten:

E, F, L : Schüler, die Englisch, Französisch, Latein lernen

a : Schüler, die nur Englisch lernen

b : Schüler, die nur Französisch lernen

c : Schüler, die nur Latein lernen

d : Schüler, die zugleich Englisch und Französisch lernen

e : Schüler, die zugleich Französisch und Latein lernen

f : Schüler, die zugleich Englisch und Latein lernen

g : Schüler, die zugleich Englisch, Latein und Französisch lernen

Genau genommen bedeuten die Buchstaben die Anzahlen der jeweils gemeinten Schüler, also die Mächtigkeit der im Diagramm skizzierten Mengen. Aber hier ist eine Verwechslung nicht zu befürchten.

Jetzt übertragen wir die Bedingungen der Aufgabe in Gleichungen.

(1)    a + c + d + e + f + g = 102

(2)    b + c + d + e + f + g = 75

(3)    c = 18

(4)    f + g = g + e + 9

(5)    d = g = 0

(6)    a + b + c + d + e + f + g = 120

Die Bedingung (6) ist sozusagen die "nullte" Bedingung; sie folgt aus dem einleitenden Satz der Aufgabe.

Wir setzen (3 ) und (5) überall ein und ordnen:

(1) a + 18 + e + f = 102 Û a + e + f = 84

(2) b + 18 + e + f = 75 Û b + e + f = 57

(4) - e + f = 9

(6) a + b + 18 + e + f = 120 Û a + b + e + f = 102

Von nun an ist es sozusagen Geschmackssache, wie man weiter verfährt. Wir ändern die Reihenfolge der Gleichungen so, dass man direkt das Gaußsche Verfahren anwenden kann.

Nun ist das System diagonalisiert; wir rollen von rückwärts auf:

f = 24 , e = 15 , b = 18, a = 45, und oben hatten wir schon c = 18

Eine erste Probe besteht darin, dass alle Lösungen natürliche Zahlen sind. Als zweite Probe mag dienen, dass die Gesamtzahl der Schüler sich bei der Addition zu 120 ergibt.

Antwort in Textform: Genau eine der drei Sprachen lernen 81 Schüler ( a + b + c = 81); genau zwei der drei Sprachen lernen 39 Schüler ( f + e = 39)

Wir haben auf unserem Lösungsweg wesentlich mehr Informationen erhalten, als in der Aufgabe eigentlich erfragt sind. Aber das ist ja kein Fehler.

Ein Tipp am Rande. Der Tipp stammt von meinem verehrten, längst verstorbenen Fachleiter für Mathematik, Herrn StD Kremp.

Das mathematische "und" und das mathematische "oder" sind besser zu verstehen, wenn man sagt „und zugleich“ und "oder auch". Dann wird z.B. ohne lange Erläuterung deutlich, dass das mathematische „oder“ das einschließende, nicht das ausschließende "oder" der deutschen Sprache meint. Das Wörtchen „zugleich“ hinter dem "und" macht z.B. deutlich, dass zu einer Schnittmenge zweier Mengen A und B genau die Elemente gehören, die zu A und zugleich zu B gehören. Das umgangssprachlich „und“ allein ist hier für den Anfänger verwirrend.