Ordnung ist das halbe Leben - Raphaels Lösung

So manche Aufgabe, die auf den ersten Blick schwierig erscheint, lässt sich lösen, wenn man für ein wenig Übersicht sorgt. Ein Beispiel ist das Berechnen von Summen, wo es oft genügt, die Summanden übersichtlich anzuordnen. Dazu eine Aufgabe aus der Landesrunde der Mathematikolympiade in diesem Schuljahr, Klassenstufe 8.



1.) Ermittle den Wert der Summe s2 aller zweistelligen Zahlen, die keine Null als Ziffer haben.
2.) Ermittle den Wert der Summe s3 aller dreistelligen Zahlen, die keine Null als Ziffer haben.

Versuche sodann, eine Formel zur Berechnung der Summen s4,s5, ...sn herzuleiten.


Die Summe s1 der einstelligen Zahlen ohne die Null ist 1+2+3+...+9 = 9•5 = 45

Wir haben hier die Formel für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen verwendet: 1+2+3+...+n = n•(n+1)/2 . Freilich muss man nicht auf diese Formel zurückgreifen; für den weiteren Verlauf der Aufgabe wird sie auch nicht benötigt.

Es gibt 9•9 = 81 zweistellige Zahlen, welche nicht die Null als Ziffer enthalten. Wir ordnen sie in folgendem Schema an.

11 12 13 . . . 19

21 22 23 . . . 29

31 32 33 . . . 39

. . . . .

. . . . .

 

91 92 93 . . . 99

Im Lösungsheft der Mathematikolympiade wird nun als nächster Schritt vorgeschlagen, die Zahlen spaltenweise zu addieren. Dabei ergibt sich für die erste Spalte 10•s1 + 9•1, für die zweite Spalte 10•s1 + 9•2, für die dritte 10•s1 + 9•3, u.s.w., für die neunte schließlich 10•s1+9•9. Für die Summe s2 ergibt sich damit s2 = 90•s1 + 9•s1 = 99•s1 = 9•11•9•5 = 92•55 = 4455

Als wir die Aufgabe in unserem Mathematikzirkel rechneten, kam von dem Schüler Raphael Schütz der Vorschlag, die Summe s2 wie folgt zu bilden:

11 + 12 + 13 + ... + 19 + 21 +......+ 99 ( = s2)

                      + 99 + 98 + 97 + ... + 91 + 89 + ....+ 11 ( = s2)

Also: 2s2 = 110 + 110 + 110+ ...+110 + 110+ …+110 = 81•110 und s2 = 81•110/2 = 4455

Diese Herleitung erinnert an die Art und Weise, wie man die oben genannte Formel zu Errechnung der ersten n natürlichen Zahlen findet, und im Jahr der Mathematik muss man nicht an die legendenumwobene Entdeckung dieser Formel durch den Knaben Carl Friedrich Gauß erinnern. Jedoch hat Raphael diese Formel nicht direkt benutzt, denn die hier zu addierenden Zahlen sind nicht die Glieder einer arithmetischen Folge. Vielmehr hat er das Verfahren, das beim Beweis der Formel verwendet wird, sinngemäß angewandt, ein schöner Hinweis darauf, wie wichtig im Mathematikunterricht Beweise sind.

Jedenfalls erscheint mir seine Vorgehensweise eleganter zu sein als die, welche wir „Erwachsene“ uns ausgedacht haben, und wir wollen uns im nächsten Schritt an seine Lösung halten.

Die Summe s3 besteht aus 93 = 729 Zahlen. Wir ordnen auch diese in einem rechteckigen Muster an, wobei jede der neun Spalten 81 Zahlen enthält ( Die fett gedruckten Ziffern repräsentieren genau die 81 Zahlen, die wir eben zu addieren hatten).

111 112 113 . . . 119

121 122 123 . . . 129

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .

191 192 193 . . . 199

211 212 213 . . . 219

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

991 992 993 . . . 999

 

Wir bilden die Summe s3 so wie eben s2 : 2s3 = 93•1110 und s3 = 93•555 = 404595

Wie würden die Summen s4, s5, ...sn zu bilden sein?

Im nächsten Schema wären 94 Zahlen vorhanden; die erste wäre 1111, die letzte 9999, und damit s4 = 94•5555, s5 = 95•55555, sn = 9n•55...5 , wobei die zweite Zahl aus n aufeinanderfolgenden Ziffern 5 gebildet wird.