Faktorisieren - Yues Lösung

Aus der Hausaufgabenrunde der Mathematikolympiade in diesem Schuljahr:


Zu bestimmen sind alle natürlichen Zahlen n, für die der Term 6n2 + 5n – 4 eine Primzahl ergibt.

Unsere Schülerin Yue Guan hat die Aufgabe wie folgt gelöst. Sie hat mir erlaubt, ihre Lösung hier leicht verändert wiederzugeben; mein Kommentar ist in Kursivschrift angefügt.

Der Term 6n2 + 5n – 4 ist faktorisierbar, und zwar wie folgt: 6n2 + 5n – 4 = (2n –1)(3n + 4).

Damit hat 6n2 + 5n – 4 mindestens zwei Teiler.

Eine Primzahl hat definitionsgemäß nur sich selbst und die 1 als Teiler; die 1 zählt nicht zu den Primzahlen.

Damit 6n2 + 5n – 4 eine Primzahl ist, muss also entweder 2n – 1 oder 3n + 4 gleich 1 sein.

Zusätzlich muss gelten, dass der andere Teiler eine Primzahl ist.

2n – 1 = 1 Û n = 1 Þ 3n + 4 = 3 + 4 = 7 ; 7 ist Primzahl. Damit ist n = 1 eine Lösung

3n + 4 = 1 Û n = - 1 , aber es ist vorausgesetzt, dass n eine natürliche Zahl ist.

Der Term 6n2 + 5n – 4 ergibt nur für n = 1 eine Primzahl, und zwar die Zahl 7

Das Faktorisieren gehört zu den grundlegenden Techniken der Mathematik. Gewöhnlich lernt man in der Schule dazu das Ausklammern, das Verwenden der binomischen Formeln, später auch noch die Polynomdivision kennen. Diese Technik kann man nicht oft genug üben.

Die häufigen und schwer auszumerzenden Fehler beim Kürzen von Brüchen beispielsweise sind vermeidbar, wenn man sich daran gewöhnt, Zähler und Nenner immer so weit wie möglich zu faktorisieren und erst dann zu kürzen. Die vielfach in Aufgaben zu lesende Aufforderung: „Kürze so weit wie möglich“ ersetzt man besser durch den Auftrag: „Faktorisiere Zähler und Nenner so weit wie möglich. Versuche dann zu kürzen.“