Zwei Aufgaben zum Problem der kürzesten Entfernung

Die erste stammt aus den Handreichungen zu den Lehrplänen Mathematik der Klassenstufe 7 der Gymnasien des Saarlandes aus den siebziger Jahren. Die zweite steht in der hier gegebenen Form in einigen Physikbüchern; zuerst habe ich sie gefunden in den Feynman lectures aus den sechziger Jahren.

1.) Eine Fliege sitzt auf einem Würfel und zwar genau im Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrates, welches die Kopffläche bildet. Sie soll auf dem kürzesten Weg über die Oberfläche zur rechten unteren Ecke A des Würfels gelangen. Welchen Weg muss sie nehmen?

2.) Gegeben sind eine Gerade g und zwei Punkte A und B auf derselben Seite der Geraden. Wo liegt der Punkt C auf der Geraden g, so dass der Weg von A nach C und dann von C nach B am kürzesten ist?


Wir zeichnen das Netz des Würfels, wobei wir uns hier auf die drei Würfelseiten beschränken können, die allein in Frage kommen ( oberes Quadrat, vorderes Quadrat und das seitliche Quadrat, das A enthält). Dann zeichnen wir die Gerade zwischen Ausgangs-und Endpunkt des Weges der Fliege und erhalten so den gesuchten Weg, insbesondere den Punkt C, an dem der Weg der Fliege über die Kante führt.

Es gibt zwei Lösungen: Einen Weg über die vordere Fläche, woran man meist als erstes denkt, aber auch einen über die seitliche Fläche. Wo liegt der Punkt C, bei dem die Fliege die Kante überschreitet?

Wenn man mit a die Kantenlänge des Würfels bezeichnet und mit x die Entfernung des Punktes C von der nächsten Ecke, so gilt nach dem Strahlensatz: a/2 : 3a/2 = x: a , und damit 1: 3 = x: a oder x = a/3.

Lösung zur zweiten Aufgabe

Sei C’ ein Punkt auf der Geraden, und wir betrachten den Weg A→C’→B. B’ ist der Punkt, den man erhält, wenn man B an der Geraden spiegelt. Das Dreieck BB’C’ gleichschenklig. Und der Weg A→C’→B ist ebenso weit wie der Weg A→C’→B’ .

Wie ist nun die Lage von C’ zu wählen, damit dieser Weg möglichst klein ist? ( Dann ist C’ gleich dem gesuchten Punkt C). C liegt auf der Geraden durch A und B’ !

Das Dreieick CBB’ ist gleichschenklig. Deshalb wird der Winkel BCB’ durch die Gerade halbiert. Die Winkel MCB’ und ACC’ sind als Scheitelwinkel einander gleich. Und deshalb sind die Winkel BCM und ACC’ einander gleich. Das ist das Reflexionsgesetz, wie es aus der Optik bekannt ist ( Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel). Hier wird das Fermatsche Prinzip erkennbar: Der Weg , den das Licht nimmt, ist der kürzest mögliche.

Machen wir noch einen kleinen Ausflug, der über den Themenkreis hinausgeht, den wir in unserer Mathematik-AG behandeln. Wieder einmal greifen wir dazu auf die Feynman-lectures zurück.

Mit Hilfe des Fermatschen Prinzips kann man auch die Brechung des Lichtes erklären. Dazu muss der Begriff „Lichtweg“ sinnvoll definiert werden. Licht ist eine Welle, und es klingt salopp, ist aber sachlich zutreffend, wenn man sagt, eine Welle bestimmt ihre eigene Geometrie. Für eine Welle ist alles, was kleiner ist als ihre Wellenlänge, punktförmig. Und Wegeslängen bestimmt sie als Vielfache ihrer Wellenlänge. So ist auch der Lichtweg bestimmt durch die Anzahl der Wellenlängen. Für uns ist die Länge 1m in Wasser oder in Luft oder in Glas jeweils gleich. Für Licht einer bestimmten Farbe nicht. Da wäre ein Meter in Glas etwa 1,5 mal so lang wie ein Meter in Luft, weil in Glas in einen Meter die 1,5 fache Zahl an Wellenlängen passt wie in Luft ( wenn der Brechungsindex n für die entsprechende Frequenz , d. h. die entsprechende Farbe gleich 1,5 ist).

Der Lichtweg ist gleich der Anzahl der Wellenlängen, und daher wählt das Licht entsprechend dem Fermatschen Prinzip einen Weg, auf dem die Anzahl seiner Wellenlängen möglichst klein ist.

Licht wird beim Übergang von Luft in Glas zum Lot hin gebrochen, etwa so:

Schauen wir uns die Sache „vergrößert“ an. AB bezeichnet eine Wellenfront ( das sind Punkte gleicher Phase, etwa lauter Wellenberge) AC kennzeichnet die Trennfläche Luft – Glas, und DC ist die neue Wellenfront im Glas. ( In B und D liegen jeweils rechte Winkel vor; die Zeichnung wird dort nicht ganz zufriedenstellend sein)

Nach dem Fermatschen Prinzip sind die Anzahl der Lichtwellenlängen auf dem Weg BC so groß wie auf dem Weg AD ( beides sind gleiche Lichtwege ). Damit gilt: n·|AD| = |BC| oder |BC| /|AD| = n.

Bezeichnen wir den Winkel DCA mit β, den Winkel BAC mit α, so gilt sinα = |BC|/|AC| und sinβ = |AD|/|AC| und damit sinα/sinβ = |BC|/|AD| = n.

Die Beziehung sinα/sinβ = n ist als das Brechungsgesetz von Snellius bekannt.