Das Ziegenproblem

Irgendwann musste es jemand in der Mathematik-AG ansprechen: Das Ziegenproblem, ein bekanntes Strategiespiel. Hier ist es.



Auf der Bühne stehen ein Moderator und ein Kandidat. Im Hintergrund der Bühne befinden sich drei Türen. Eine der Türen verbirgt einen Ferrari, die beiden anderen verbergen jede eine Ziege. Der Kandidat soll die Türe erraten, welche zum Ferrari führt.
Er zeigt auf eine Tür. Der Moderator bittet ihn, ein wenig zu warten. Er öffnet eine der beiden anderen Türen, und eine Ziege kommt daraus hervor. Dann sagt der Moderator dem Kandidaten, er könne sich seine Entscheidung noch einmal überlegen.
Er kann bei seiner bisherigen Wahl bleiben oder aber auf die dritte, ebenfalls noch geschlossene Tür zeigen. Wie soll er sich verhalten?

Wenn man sich die Sache nicht weiter überlegt, könnte man meinen, es sei gleichgültig, wie der Kandidat sich nun entscheidet. Denn, so die vorschnelle Meinung, die Chance, dass hinter der ersten oder der dritten Tür der Ferrari steht, sei doch gleich.

Sehen wir uns das Problem genauer an und rechnen wir die Chancen der beiden Strategien aus.

Strategie 1: Der Kandidat bleibt bei seiner Entscheidung.

Spielen wir die drei möglichen Fälle durch.

Fall Nr. 1: Der Kandidat hat auf die Tür gezeigt, hinter welcher der Ferrari steht. In diesem Fall führt die Strategie 1 zum Erfolg.

Fall Nr. 2: Er hat auf die Tür mit der ersten Ziege gezeigt. Die Strategie 1 geht fehl.

Fall Nr. 3: Er hat auf die Tür mit der zweiten Ziege gezeigt. Die Strategie 1 geht fehl.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit der Strategie 1 beträgt 1/3.


Strategie 2: Der Kandidat bleibt nicht bei seiner Entscheidung.

Fall Nr. 1: Hinter der Tür, auf die der Kandidat ursprünglich gezeigt hat, steht der Ferrari. In diesem Fall geht die Strategie 2 fehl.

Fall Nr. 2: Hinter der Tür, auf die der Kandidat gezeigt hat, steht die erste Ziege. Hier führt die Strategie 2 zum Erfolg. Denn die zweite Ziege ist bereits befreit. Hinter der anderen noch geschlossenen Tür muss der Ferrari stehen. Der Moderator hatte keine Wahl: Da der Kandidat auf eine Tür mit einer Ziege gezeigt hatte, musste er genau die Tür öffnen, hinter der die andere Ziege stand.

Fall Nr. 3: Hinter der Tür, auf die der Kandidat gezeigt hat, steht die zweite Ziege. Die Strategie 2 führt zum Erfolg (Begründung wie im Fall Nr. 2)

Die Gewinnwahrscheinlichkeit der Strategie 2 beträgt 2/3.

Der Kandidat sollte Strategie 2 befolgen.