Mustererkennung und Bildung von Summentermen

Aus der ersten Runde der Mathematikolympiade des Jahres 1995/96; Klassenstufe 5

Regina zeichnet Muster auf Kästchenpapier. Hat sie ein Muster fertig, so bildet sie daraus ein neues Muster. Das macht sie so: Sie zeichnet in jedes Kästchen, das oben, unten, rechts oder links von einem Kreuz des vorigen Musters liegt und noch leer ist, ein neues Kreuz.

Wir bilden die ersten drei Muster hier ab.

Muster 1 Muster 2 Muster 3
  1. Ermittle die Anzahl der Kreuze im 4. und im 5. Muster
  2. Regina möchte die Anzahl der Kreuze im sechsten Muster errechnen. Gib eine Möglichkeit an, mit welchen Rechenoperationen dies geschehen kann.
  3. Finde eine Möglichkeit, wie man stets die Anzahl der Kreuze eines Musters aus den Anzahlen der Kreuze in dem vorhergehenden Muster errechnen kann.

Der Aufgabenteil (a) lässt sich wohl noch durch Zeichnung und nachfolgendes Abzählen ermitteln; es ergeben sich die Zahlen a4 = 25 und a5 = 41. Man hätte dann für die Anzahl Kreuze in den aufeinanderfolgenden Mustern die Folge 1, 5, 13, 25, 41, ... und man könnte versuchen, daraus das in den folgenden Aufgabenteilen verlangte Bildungsgesetz zu erraten.

So sind die Differenzen zweier aufeinanderfolgender Glieder bei der hier aufgeschriebenen Folge jeweils 4, 8, 12, 16, wonach die gesuchte Zahl ( Anzahl der Kreuze im sechsten Muster) sich zu 41+20=61 ergeben würde. Das wäre dann schon die Lösung von Teil (b). Man kann sich davon überzeugen, richtig geraten zu haben, wenn man das Bildungsgesetz der Folge direkt aus der Konstruktionsvorschrift abliest.

Wie viele Kreuze kommen jeweils beim Übergang zum nächstfolgenden Muster hinzu? Man muss das bestehende Muster "umranden", - Achtung : Kreuze in den Ecken dabei nur einmal zählen - und so kommen beim Übergang vom ersten zum zweiten Muster 4•1 Kreuze dazu, beim Übergang vom zweiten zum dritten 4•2, beim Übergang vom dritten zum vierten 4•3, vom vierten zum fünften 4•4, allgemein vom (n-1)-ten zum n-ten Muster 4•(n-1) Kreuze, was zum Bildungsgesetz an = an-1 + ( n – 1)•4 führt (n=2,3... und a1 = 1) . Das ist die Lösung von Teil (c) .

Das ergibt dann die Folge 1, 5,13,25,41,61,85,...

Der Umgang mit Indizes ist für einen Fünftklässler sicher noch ungewohnt. Und das Bildungsgesetz ( in der Fachsprache: die Rekursionsformel) muss nicht in der hier gegebenen Form angeboten werden. Es würde genügen, etwa wie folgt zu schreiben.

Das erste Muster enthält 1 Kreuz, das zweite 1 + 4•1 Kreuze, das zweite 1 + 4•1 + 4•2, das dritte 1 + 4•1 + 4•2 + 4•3 , das vierte 1 + 4•1 + 4•2 + 4•3 + 4•4 Kreuze u.s.w.. Man muss jedes Mal zu der Anzahl der im Muster mit der Nummer n vorhandenen Kreuze das Vierfache von n addieren, um die Anzahl der Kreuze im nächstfolgenden Muster zu erhalten.

So würde mit den Mitteln der Klassenstufe 5 das Problem gelöst werden können.

Und wem die Formel geläufig ist, wonach die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gegeben ist durch n·(n+1)/2, der wird die explizite Form des Folgengliedes angeben können:

an = 1 + 4·1 + 4·2 + 4·3 + ...+ 4·(n – 1) = 1 + 4·( 1 + 2 + 3 + ...+ (n-1)) = 1 + 4·(n-1)·n/2 und damit an = 1 + 2n·( n – 1 )

Als wir die Aufgabe am Samstag, 23. Februar 2008, durchgenommen haben, wurde der Aufgabenteil a) in wenigen Minuten von allen, auch den Fünfklässlern, gelöst, die Rekursionsformel wurde nach etwa einer Viertelstunde von den Teilnehmern aus den Klassen 6 bis 8 richtig angegeben; einer gab nahezu richtig die explizite Formel an. Als ich beim Anschreiben der expliziten Formel einen sachlichen Fehler machte, wurde ich sofort darauf hingewiesen. Kompliment an die Gruppe!

Wer von Anfang an stärkere mathematische Mittel eingesetzt hat, mag vielleicht wie folgt vorgegangen sein.

Die Muster sind rautenähnliche Gebilde ( Sie sind keine genauen Rauten, sondern treppenförmige Figuren, da sie aus ganzen Quadraten zusammengesetzt sind!). Die Diagonalen bestehen aus 1, 3, 5, 7, 9 , ...Quadraten. Die Diagonale der n-ten Figur besteht aus

1 + (n-1)•2 = 2n + 1 Quadraten (bzw.Kreuzen). Die Anzahl der Quadrate des oberen Teils der Figur einschließlich der waagerechten Diagonalen ist damit gegeben durch

1 + 3 + 5 + ...+(n – 1) •2 + 1 = n•1 + 2•(n-1)n/2 + 1 = n2 + 1. ( Hier haben wir die Summenformel einer arithmetischen Reihe verwendet). Multipliziert man diese Zahl mit 2 und zieht das – doppelt gezählte – Diagonalelement ab, so ergibt sich 2n2+2-(2n-1) =2n2-2n+1 = 1 + 2n(n – 1).

Das ist genau das Ergebnis, das wir im vorigen Abschnitt für an erhalten haben.

 

Und was ergibt sich, wenn man den Fehler macht, die treppenförmige Figur für eine Raute zu halten? Der Flächeninhalt einer Raute ist d2/2, wobei d ihre Diagonale ist. Setzt man hier das Diagonalelement dn ein, so ergibt sich eine Zahl von (2n –1)2 /2 = 2n2 – 2n + ½ Quadraten (bzw.Kreuzen), was natürlich falsch sein muss, da die Anzahl ganzzahlig ist. Aber der Fehler, den man macht, ist genau gleich - ½ , und der wird prozentual mit wachsendem n immer kleiner. Aber sein Absolutwert bleibt immer gleich. Jedoch wäre es eine eigene Aufgabe, sich dieses Ergebnis geometrisch klar zu machen...