Kryptogramme

Kryptogramme mögen auf den ersten Blick als belanglose Zahlenspielereien erscheinen; aber um sie zu lösen, muss man systematisch vorgehen und mathematisch sauber argumentieren. Dass man mit sehr bescheidenen, eigentlich alltäglichen mathematischen Kenntnissen auskommt, macht sie besonders reizvoll.
Es folgen drei Beispiele aus der Hausaufgabenrunde der Mathematikolympiade 2001/02, Klassenstufen 5 bis 8.
Die Großbuchstaben stehen für Ziffern ( 0 bis 9) ; verschiedene Ziffern bezeichnen verschiedene Zahlen.

1. Beispiel:    AB•AB = CAB

2. Beispiel:    AB – BA = A

3. Beispiel:    SEE•SEE = MEINS


1. Beispiel: AB•AB = CAB oder (AB)2 = CAB

Es ist meist sinnvoll, Kryptogramme so zu lösen, dass man nach und nach die Lösungsmöglichkeiten für die einzelnen Buchstaben eingrenzt.

So kann A hier nicht gleich 0 sein. Denn wäre A=0, so müsste das Produkt gleich Null sein, und damit wären C= 0 und B= 0. Aber das ist nach Voraussetzung unmöglich, da A, B,C paarweise verschieden sein müssen ( „paarweise verschieden“ ist mathematische Fachsprache und bedeutet. A ungleich B und zugleich A ungleich C und zugleich B ungleich C).

Ferner ist B ungleich 0. Denn wäre B = 0, so müsste das Produkt hier auf den beiden letzten Stellen eine 0 stehen haben, was wiederum bedeuten würde, dass A=B wäre im Widerspruch zur Voraussetzung.

Das Quadrat einer zweistelligen Zahl ist mindestens dreistellig ( gleich 100 im Fall A=1 und B= 0) und höchstens vierstellig ( die kleinste fünfstellige Zahl, 10 000, ist das Quadrat der dreistelligen Zahl 100). Dreistellig kann das Quadrat einer zweistelligen Zahl nur dann sein, wenn die Zehnerziffer kleiner als 4 ist. Damit ist A ε { 1, 2, 3}

Das Quadrat von B muss auf die Ziffer B enden; das ist nur für die Zahlen 0, 1, 5, 6 der Fall. Und da B≠0 , ist B ε {1, 5, 6 }.

AB kann daher nur eine der acht Zahlen 15, 16, 21, 25, 26, 31, 32, 33 sein ( 11 scheidet aus, da A≠B ).

Ausprobieren führt zu der einzigen Lösung A = 2, B = 5 : 252 = 625

2. Beispiel: AB – BA = A

Was stellen eigentlich unsere Ziffern in der uns gewohnten Schreibweise in einer Zahl dar? Nun, von Kindesbeinen an sind wir gewohnt, dass die Bedeutung dieser unserer Hieroglyphen von der Stelle abhängt, an der sie stehen ( „Stellenwertsystem“). So bedeutet AB = 10• A + B

Unsere Aufgabe lautet AB – BA = A , und damit ist A = 10A + B – 10B - A = 9•(A-B) . Da A eine einstellige Zahl ist, bleibt als Lösung nur A – B = 1 und A = 9, und damit schließlich B= 8.

Das ist tatsächlich eine Lösung, wie das Einsetzen zeigt: 98 – 89 = 9

3. Beispiel: SEE · SEE = MEINS oder (SEE)2 = MEINS

Wir grenzen wieder ein, zuerst ganz vorsichtig: E kann nicht gleich 0 sein, sonst müssten die letzten vier Ziffern des Quadrates von SEE und damit von MEINS gleich 0 sein, was aber nach Voraussetzung ausgeschlossen ist, da z.B. S ungleich E sein muss.

Ebenso kann S nicht gleich 0 sein, da dann auch E gleich 0 sein müsste.

MEINS ist fünfstellig. Das Quadrat einer dreistelligen Zahl ist nur dann fünfstellig, wenn die erste Ziffer 1, 2 oder 3 lautet ( Das Quadrat der kleinsten dreistelligen Zahl, die mit einer 4 beginnt, 4002 = 160000, ist bereits sechsstellig).

Es folgt S ε {1, 2, 3} .

S ist die letzte Ziffer der Zahl E2. Das bedeutet S ε {1, 4,9, 6,5 }.

S muss also Element der Menge {1, 4,9, 6,5 } und zugleich Element der Menge {1, 2, 3}sein. Die Schnittmenge der beiden Mengen { 1, 2, 3} und {1, 4,9, 6,5 } ist { 1 }. Also kann nur gelten S = 1.

Nochmals: S ist die letzte Ziffer der Zahl E2. Unter den einstelligen Zahlen haben nur die Quadrate von 1 und von 9 als letzte Ziffer eine 1. Damit ist E = 1 oder E = 9. Da E ungleich S sein muss, kommt nur E = 9 in Frage.

Wir setzen ein: ( 199)2 = 39601

Und erst jetzt ist erkennbar, dass S = 1 und E = 9 Lösung sind , denn an der zweiten Stelle der Zahl auf der rechten Seite ( die Zahl „MEINS“) muss E, also die Ziffer 9 stehen, und alle Ziffern von MEINS müssen paarweise verschieden sein. Das ist der Fall.

Dass die gefunden Lösung die einzige ist , folgt daraus, dass sich S= 1 und E = 9 als notwendige Bedingungen ergeben haben.