Ein Vorläufer der Computergrafik

Im Jahr der Mathematik gab es bisher eine ganze Reihe von Wettbewerben und Ausstellungen zur Computergrafik. Wir hatten auf dieser Homepage schon Arbeiten unseres Kollegen Hermann Bauer vorgestellt, der bei solchen Wettbewerben sehr erfolgreich war. Und in Saarbrücken hatten wir Anfang November die Ausstellung "Imaginary", welche sich mit den Möglichkeiten der Computergrafik beschäftigt hat.
Oft geht es dabei darum, die Lösungsmengen algebraischer Gleichungen grafisch darzustellen. Schon immer hat man versucht, Lösungsmengen geometrisch darzustellen, und die folgende Aufgabe ist ein Beispiel dafür. Sie ist entnommen dem Informationsblatt Nr.7 des Brandenburgischen Landesvereins zur Förderung mathematisch-naturwissenschaftlich-technisch interessierter Schüler aus dem Jahr 1992.



Sei z eine reelle Zahl.
Wir bezeichnen im folgenden mit [ z ] diejenige ganze Zahl g, für die gilt: g ≤ z < g + 1.
Beispielsweise ist [ 0,3] = 0 , [1] = 1 , [ - 0,7]= –1, [ 2,4 ] = 2.

Zeichne in einem x-y-Koordinatensystem die Lösungsmengen der Gleichungen

(a)   [x]2 + [y]2= 1     und     (b)   [x2] + [y2]= 1


(a)

Lösungsmenge der Gleichung [x]2 + [y]2 = 1

Die schraffierten Quadrate bilden die Lösungsmenge. Gehört ein Rand zur Lösungsmenge, so ist er dick und durchgehend eingezeichnet. Gehört ein Endpunkt eines Randes zur Lösungsmenge, so ist er durch einen dicken Punkt gekennzeichnet. So gehören die Punkte (1|1) , (0|2), (2|1), (1|-1) (0|0) und (-1|1) nicht zur Lösungsmenge.
Man erkennt die Symmetrie zur ersten Winkelhalbierenden: Ist ( a | b) Element der Lösungsmenge, so auch ( b | a ).


(b)

Die Lösungsmenge der Gleichung [x2] + [y2] = 1 ist nicht nur symmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden, sondern auch noch zur x- Achse ( da mit (a|b) auch (a| -b) Lösung ist) und zur y- Achse ( da mit (a|b) auch (-a|b) Lösung ist).

Die Quadratwurzel aus 2 ist in der Form 20,5 geschrieben.

Wiederum ist die Lösungsmenge schraffiert gezeichnet; gehört ein Rand zur Lösungsmenge, so ist er dick und durchgehend eingezeichnet. Gehört ein Endpunkt eines Randes zur Lösungsmenge, so ist er durch einen dicken Punkt gekennzeichnet: Die Punkte
(1|1), (-1|1), (-1|-1) , (1|-1) , ( 20,5 | 0 ) , ( 0 | 20,5), ( -20,5 | 0 ) und ( 0 | -20,5)
gehören nicht zur Lösungsmenge.