Alternierende Quersumme

Eine Aufgabe aus der 3.Stufe der Mathematikolympiade des Schuljahres 1995/96, Klassenstufen 9 und 10.

Die Zahl 20! ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis 20. Im Dezimalsystem hat die Zahl 19 Stellen. Jürgen hat den Rechnerausdruck

20! = 24329020 * 81766*****

erhalten; darin sind die Ziffern * unleserlich. Die anderen Ziffern sind korrekt.
Kann er die fehlenden Ziffern ermitteln, ohne einen Rechner zu benutzen oder Multiplikationen mit Zahlen durchzuführen, die zehn oder mehr Stellen umfassen?

Hinweis: Aufgaben dieser Art, in denen nach Ziffern in der Dezimaldarstellung gesucht wird, lassen sich oft mit Hilfe von Teilbarkeitsregeln lösen. Während die Regeln für die Teilbarkeit durch 2,3, 4, 5, 8,9 meist bekannt sind, ist die Teilbarkeitsregel für 11 nicht so bekannt. Sie sei deshalb hier genannt; ein Beweis dafür findet sich in der Lösung. Eine Zahl ist teilbar durch 11, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
(Bei der alternierenden Quersumme wechseln die Ziffern ihr Vorzeichen, begonnen wird mit der Einerziffer. Beispiel: Die alternierende Quersumme der Zahl 85976 ist 6 - 7 + 9 - 5 + 8 = 11. Da 11 natürlich durch 11 teilbar ist, muss auch 85976 durch 11 teilbar sein).


Gegeben sei die Zahl z in der Dezimaldarstellung: z = anan-1....a1a0.

Das heißt: z = an•10n + an-1•10n-1+ ... + a1•101+ a0

Nun gilt:

a0=0•11+ a0;
10•a1= 11•a1 – a1;
100•a2= 99•a2 + a2 = 9•a2•11 + a2, u.s.w.

Da alle geraden Potenzen von 10, also 100, 10000 u.s.w. bei Teilung durch 11 den Rest 1, alle ungeraden ( 10, 1000 u.s.w.)den Rest – 1 lassen, hat die alternierende Quersumme bei Teilung durch 11 denselben Rest wie die Zahl selbst.

Offenkundig ist die Regel umkehrbar: Ist die Zahl z durch 11 teilbar, so muss die alternierende Quersumme ebenfalls durch 11 teilbar sein. ( Denn die Zerlegung der Zahl in einer Summe von Zehnerpotenzen ist eindeutig).

Wir kommen zur Lösung des gestellten Problems. Dabei wählen wir einen anderen Weg als den, welcher in der „offiziellen“ Lösung im Jahr 1995 vorgeschlagen worden war. Nur an der eben vorgestellten Teilbarkeitsregel kommen auch wir nicht vorbei.

Die Riesenzahl 20! lässt sich recht einfach in ihre Primfaktoren zerlegen. So kommt z.B. der Primfaktor 2 genau 18-mal vor: zehnmal in den Zweierpotenzen 2, 4, 8, 16 und achtmal in den verbleibenden geraden Zahlen 6,10,12,14,18,20. Es gilt:

20! = 218•38•54•72•11•13•17•19 = 104• ( 214•38•72•11•13•17•19).

Somit müssen die letzten vier Ziffern der Zahl 20! Nullen sein.

Wie lautet die fünftletzte Ziffer? Sie ist die Endziffer des in Klammern gesetzten Produktes. Die Endziffer des Produktes 17•19 ist 3; kommt der Faktor 13 dazu, so ist die Endziffer 9, der hinzukommende Faktor 11 führt zu einer Endziffer 9, der Faktor 72 = 49 zu einer Endziffer1, der Faktor 38 = 34•34 = 81•81 zu einer Endziffer 1, der Faktor 214 =27•27 = 128•128 schließlich zur Endziffer 4.

Also lauten die fünf letzten Ziffern 40000. Bleibt noch eine fehlende Ziffer. Und diese erhalten wir unter Benutzung der eben genannten Teilbarkeitsregel. Denn 20! enthält den Faktor 11, und so muss ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar sein.

Wenn wir die noch fehlende Ziffer mit x bezeichnen, so ist die alternierende Quersumme von 20!:

0 – 0 + 0 – 0 + 4 –6 +6 –7 + 1 – 8 + x –0 +2 – 0 + 9 – 2 + 3 – 4 + 2 = x

Die einzige durch 11 teilbare Ziffer ist 0, also ist x = 0.

Ergebnis: 20! = 2432902008176640000