Eine Physikaufgabe aus der Abiturprüfung des Jahres 1885

Aus dem "Jahresbericht über die Königliche Gewerbeschule und die Vorschule zu Saarbrücken womit zu der am 30.März 1885 stattfindenden öffentlichen Prüfung ergebenst einladet der Direktor Krüger" , erschienen im Druck bei Gebrüder Hofer im Jahr 1885.
Die Königliche Gewerbeschule war die Vorgängerin der Königlichen Oberrealschule, woraus schließlich unsere Schule nach über einem Jahrhundert wechselvoller Geschichte hervorgegangen ist. Damals, im Jahr 1885, waren die Abiturprüfungen noch öffentlich. Die schriftlichen Abiturprüfungen wurden in dem Jahresbericht veröffentlicht. Wir entnehmen eine der Aufgaben zum Fach Physik dem Bericht des Jahres 1885.


Zwei Körper fallen gleichzeitig von demselben Punkte, der eine frei, der andere auf einer unter dem Winkel α gegen den Horizont geneigten schiefen Ebene.
Wie gross ist, von dem Widerstande der Luft und der Reibung abgesehen, die gegenseitige Entfernung nach t Sekunden?
Es sei α = 29°51'46'' , t = 3''.

Das Zeichen '' bedeutet "Sekunde"; die Schreibweise "gross" war 1885 korrekt, da das ß erst um die Jahrhundertwende aufkam.


Wir beginnen mit einem physikalischen „Vorspann“

Welche Kräfte erfährt ein Körper, der sich auf einer schiefen Ebene befindet, wenn von Reibungskräften abgesehen wird ?

Das sind zwei Kräfte. Erstens sein Gewicht G und zweitens die Kraft N, welche die Unterlage auf ihn ausübt. Die Kraft N ist die „Zwangskraft“, welche den Körper auf der Ebene hält; sie ist senkrecht zur Ebene gerichtet. Schließlich weiß man, dass infolge des Zusammenwirkens der beiden Kräfte der Körper eine Kraft H erfährt, welche ihn die Ebene abwärts gleiten lässt (H wird meist mit „Hangabtriebskraft“ bezeichnet). „Zusammenwirken“ bedeutet in Fall von Kräften deren Addition.

Wir kennen von G Betrag und Richtung, von N und H vorerst nur die jeweilige Richtung. Aber aus der Tatsache, dass H die Resultierende von G und N ist, können wir durch Anwendung der Regeln der Addition von Vektoren die Beträge von N und von H bestimmen.

Der Winkel α erscheint in dem Kräfteparallelogramm an der Spitze von G ( Winkel, deren Schenkel senkrecht aufeinander stehen, sind gleich groß), und so erhält man die Beziehungen N=G•cosα und H=G•sinα . Bezeichnet m die Masse des Körpers, so gilt N=mg•cosα und H=mg•sinα .

Fassen wir zusammen. Auf den Körper wirken zwei Kräfte ein: Die Gewichtskraft G und die Kraft N, die von der Ebene auf ihn ausgeübt wird. Als Resultierende ergibt sich H; der Körper gleitet hangabwärts mit der Beschleunigung g•sinα .

Es mag befremdlich klingen, wenn davon die Rede ist, die Ebene übe auf den Körper eine Kraft aus. Allenfalls ist man geneigt einzuräumen, dass da eine Kraft N als Reaktionskraft zu einer Gewichtskomponente zwischen Ebene und Körper existiert. Aber eine Reaktionskraft ist ja nichts „Sekundäres“; Kraft und Gegenkraft existieren nach dem 3. Newtonschen Axiom immer zugleich. Will man herausfinden, welche Kräfte insgesamt auf einen Körper einwirken, so muss man sozusagen die Welt von seinem Standpunkt aus sehen. Stellen wir uns einen Drucksensor vor, der am Körper befestigt wäre und der meldet, von wo aus und wohin mit welcher Kraft auf ihn eingewirkt wird. Dieser Sensor würde melden, dass von der Ebene aus mit der Kraft N auf den Körper gedrückt wird.

Die hangabwärts gerichtete Beschleunigung g•sinα ist die Resultierende aus zwei Beschleunigungen. Der Körper führt simultan zwei beschleunigte Bewegungen aus, deren Resultat die von ihm ausgeführte hangabwärts gerichtete Gleitbewegung ist. Erstens fällt er frei, und zweitens führt er eine Bewegung mit der Beschleunigung g•cosα senkrecht von der Ebene weg aus. Der letzte Halbsatz klingt nun ganz nach science fiction, ist aber nur eine Folge des sog. Unabhängigkeitsprinzips der Bewegung, was besagt, dass Ortsänderungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen vektorielle Größen sind.

Und nun kommen wir zur Lösung der Aufgabe.

Wir gehen drei Lösungswege. Im ersten Fall rechnen wir stur drauflos; im zweiten Fall nehmen wir die Geometrie zu Hilfe ( ich nehme an, dass so im Jahr 1885 gerechnet worden ist), im dritten Fall argumentieren wir vom Standpunkt der Physik aus, was eine ganz elegante Lösung ergibt.

Beginnen wir mit der sturen Rechnung. Es wird ein Koordinatensystem eingeführt, dessen Ursprung im gemeinsamen Startpunkt der beiden Körper liegt. Seine y-Achse zeigt senkrecht nach unten und seine x-Achse waagerecht nach links. Nach Ablauf der Zeit t befindet sich der frei fallende Körper im Punkt ( 0 | ½ gt2), der auf der schiefe Ebene abwärts gleitende im Punkt ( ½ gsinα•cosα•t2 | ½ gsin2α•t2) . Man erhält diese Koordinaten, wenn man sich vergegenwärtigt, dass der Körper auf der Ebene die Strecke s = 1/2gsinα•t2 zurückgelegt hat; deren Projektion auf die vereinbarten x- und y- Achsen ergeben dann die angegebenen Koordinaten. Der Abstand dieser beiden Punkte errechnet sich dann zu d=1/2gcosα•t2
( Im einzelnen: d = ( (½ gsinα•cosα•t2-0)2+(½ gsin2α•t2- ½ gt2)2)0,5 =

½ gt2( sin2αcos2α + cos4α)0,5 = ½ gcosαt2(sin2α + cos2α)0,5 = ½ gcosαt2).

Das ist die Lösung. Etwas schneller kommt man zu diesem Ergebnis, wenn man die Geometrie zu Hilfe nimmt. Seien AB die Strecke, die der Körper auf der Ebene zurückgelegt hat, AC die Strecke, welcher der frei fallende Körper zurückgelegt hat. Der Winkel in A ist gleich 90° - α , AB hat die Länge s = 1/2gsin α•t2 , und AC hat die Länge h = ½ gt2. Damit ist s/h=sinα =cos(90- α), was bedeutet, dass das Dreieck ABC ein rechtwinkliges ist mit dem rechten Winkel bei B und h als Hypotenuse. Daraus folgt direkt, dass die gesuchte Entfernung BC gegeben ist durch d=1/2 gcos α•t2.

Den elegantesten Lösungsweg bietet die oben durchgeführte physikalische Betrachtung an.

Der Körper auf der schiefen Ebene führt zugleich zwei beschleunigte Bewegungen aus: Den freien Fall und die Bewegung mit der Beschleunigung gcos α . Unter dem Einfluss der zweiten Beschleunigung entfernt sich der Körper in der Zeit t um die Strecke d= ½ gcos α•t2 von seinem frei fallenden Partner.

Mit den in der Aufgabe angegebenen Zahlenwerten erhält man etwa d = 38,9m