Zwei Züge fahren aneinander vorbei

Aus einer Landesrunde der Mathematikolympiade im Schuljahr 1993/94, Klassenstufe 8


Ulrike sitzt am Fenster eines Zuges, der mit der Geschwindigkeit 60 km/h fährt. Sie beobachtet, dass an ihrem Fenster ein Gegenzug innerhalb von 4 Sekunden vorüberfährt. Außerdem weiß sie, dass der Gegenzug 120 m lang ist.

Lässt sich aus diesen Angaben die Geschwindigkeit des Gegenzuges berechnen?
Wenn das der Fall ist, so gib diese Geschwindigkeit in km/h an.


Bezeichnen wir die gesuchte Geschwindigkeit mit dem Buchstaben v.

Die Beobachtung von Ulrike wäre genau die gleiche, wenn ihr Zug in Ruhe wäre und der Gegenzug mit der Geschwindigkeit v + 60km/h an ihrem Fenster vorbeiführe.

Also: v + 60 = 120/4 = 30 und damit v = - 30 ??? Das muss doch falsch sein.

In der Tat, das ist falsch. Denn man muss an jeder Stelle der Gleichung mit den gleichen Einheiten rechnen. Also nicht links mit km und h und rechts mit m und sec!

Wir machen einen zweiten Anlauf, und dieses Mal sind wir achtsam.

Bezeichnen wir mit v die Maßzahl der gesuchten Geschwindigkeit, wenn die Einheit km/h beträgt. (oder kürzer : v bedeutet die gesuchte Geschwindigkeit in der Einheit km/h ).

Die Beobachtung von Ulrike wäre genau die gleiche, wenn ihr Zug in Ruhe wäre und der Gegenzug mit der Geschwindigkeit ( v + 60) km/h an ihrem Fenster vorbeiführe.

Ferner gilt 120m = 0,12 km und 4 s = (4/3600) h , und so folgt:

( v + 60 ) km/h = 0,12 km/(( 4/3600)h) = 108 km/h

Jetzt ist sofort zu sehen, dass die gesuchte Geschwindigkeit 108km/h – 60 km/h = 48 km/h beträgt. Der Gegenzug hat die Geschwindigkeit 48 km/h.

Er hat bezüglich der Gleise die Geschwindigkeit 48 km/h und bezüglich Ulrikes Sitz die Geschwindigkeit 108km/h .