Gesucht: Das Gegenbeispiel

a) Sei p eine Primzahl und p > 3.
Zeige: Dann existiert eine natürliche Zahl n, so dass gilt: p2 = 24n + 1

b) Seien p, n zwei natürliche Zahlen für die gilt: p2 = 24n + 1 . Muss p eine Primzahl sein?


p2 = 24n + 1 <=> p2 – 1 = 24n<=>(p – 1)(p + 1) = 24n

( Man ist fast immer gut beraten, so weit wie möglich zu faktorisieren. Auch hier werden wir mit der faktorisierten, fett gedruckten Form weiterarbeiten)

a) Da p eine Primzahl größer als 3 ist, muss p eine ungerade Zahl sein. Damit sind p – 1 und p + 1 zwei aufeinanderfolgende gerade Zahlen, von denen eine sogar durch 4 teilbar ist. Ihr Produkt ist deshalb durch 8 teilbar. Die Zahl p ist nicht durch 3 teilbar, da p prim und p> 3. Unter drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist eine durch 3 teilbar, also ist p – 1 oder p+1 durch 3 teilbar.

Insgesamt folgt, dass das Produkt (p-1)(p+1) durch 8·3 = 24 teilbar ist, was zu beweisen war.

 

b) Die Frage stiftet dazu an, ein Gegenbeispiel zu suchen. Ein solches ist gegeben mit p = 95.

Dann ist (p-1)(p+1) = 94·96 = 94·4·24 = 24·(4·94) . Die gestellte Frage ist also zu verneinen.