Kein Zaubertrick - Umangathans Pfad

Die folgende Aufgabe stammt aus dem Buch "Fünf Minuten Mathematik" von Ehrhard Behrends. Wir danken dem Autor und dem Vieweg-Verlag für die Erlaubnis, die Aufgabe hier zu verwenden.



Man bilde eine sechsstellige Zahl, indem man eine dreistellige Zahl zweimal hintereinander aufschreibt. So entsteht z.B. aus 257 die Zahl 257257.
Zeige: Jede solche Zahl der Form abcabc ist ohne Rest durch 13 teilbar.

Mit etwas Glück kann man die zur Lösung führende zahlentheoretische Eigenschaft direkt, sozusagen durch bloßes Hinsehen erraten: Eine Zahl der Form abcabc ist das 1001-fache der dreistelligen Zahl abc. So ist z.B. 257257 = 257000 + 257 = 1001•257. Da 1001 = 7•11•13, ist die sechsstellige Zahl durch 13 und z.B. auch durch 7 teilbar.

Als wir die Aufgabe am 14. Februar besprachen, kam zunächst niemand direkt auf die Lösung. Aber dann regte Umangathan Kandasamy an, dem Pfad der mathematischen Tugend zu folgen, der auch prompt zur Lösung führt.

Die „mathematische Tugend“ besteht darin, die einfachsten Termumformungen – das sind hier das Zusammenfassen gleichartiger Summanden und das Ausklammern - vorzunehmen und dann weiterzusehen:

abcabc = a• 105 + b•104 + c•103 + a•102 + b•10 + c = a(105 + 102) + b(104 + 10) + c(103+1) =

100a(103 + 1) + 10b(103 + 1) + c(103 + 1) = (100a + 10b + c)• 1001

Da 1001 = 7•11•13, ist die Lösung gegeben.

Im Verlauf der Besprechung hatte einer der Teilnehmer darauf aufmerksam gemacht, dass die Teilbarkeit einer Zahl der Form abcabc durch 11 auch daraus folgt, dass die alternierende Quersumme gleich 0 ist: c – b + a – c + b - a = 0.