Hüpfender Ball

Man lässt einen sehr elastischen Ball ( einen "Flummi") aus 1m Höhe auf eine ebene Platte fallen und danach hüpfen. Wir nehmen an, dass der Ball stets senkrecht fällt bzw. steigt. Nach jedem Aufprall erreicht er wieder 95 % seiner vorherigen Höhe.
Je länger der Ball hüpft, desto kleiner werden die Fallstrecken und - zeiten. Schließlich macht sich die Ausdehnung des Balls störend bemerkbar. Wir sehen von der Ausdehnung des Balles ab, nehmen also an, er sei punktförmig.
  • Wie hoch steigt er nach dem vierten Aufprall?
  • Welchen Weg hat er vom Start aus bis zum Ende des Aufstiegs nach dem vierten Aufprall zurückgelegt?
  • Angenommen, der Ball könnte so wie beschrieben ungestört weiterhüpfen. Würde die Strecke, die der Ball vom Start an zurücklegt, unbegrenzt wachsen oder kann man einen Wert angeben, den sie niemals überschreiten wird?
  • Würde die Bewegung niemals aufhören oder kann man angeben, wie lange sie höchstens dauern wird?

Um die Aufgabe lösen zu können, benötigt man zwei Formeln, die wir hier angeben. Die erste ist die Summenformel der geometrischen Reihe: Für eine Zahl x und eine natürliche Zahl n gilt:

1 + x + x2+ ...+ xn = ( 1 – xn + 1 )/(1 – x)

Die zweite gibt den Zusammenhang an zwischen der Fallhöhe s (gemessen in Metern) und der Fallzeit t (gemessen in Sekunden): s = 5*t2

Derselbe Zusammenhang besteht zwischen der Steigzeit t und der Steighöhe s.


Nach dem ersten Aufprall steigt der Ball auf 0,95m, nach dem zweiten auf 0,952m, nach dem dritten auf 0,953m und nach dem vierten auf 0,954m ≈ 0,815m

Die bis zum Aufstieg nach dem vierten Aufprall zurückgelegte Strecke ist gleich:

( 1 + 2•0,95 + 2•0,952 + 2•0,953 + 0,954) m ≈ 6,0987m

Die bis unmittelbar vor dem (n + 1) - ten Aufprall zurückgelegte Strecke ( gemessen in Metern) errechnet sich wie folgt:

1 + 2•0,95 + 2•0,952 + 2•0,953 + ... + 2•0,95n = 1 + 1,9( 1 + 0,95 + 0,952 + ... + 0,95n – 1) =

= 1 + 1,9• ( ( 1 – 0,95n)/(1- 0,95) = 1 + 38• ( 1 – 0,95n)

Mit wachsendem n wird 0,95n immer kleiner mit dem Grenzwert 0. Die obere Grenze des Terms 1 – 0,95n ist gleich 1, die obere Grenze der gesuchten Strecke daher gleich 39m.

Auch die Zeit des Hüpfens hat eine obere Grenze.

Lösen wir die angegebene Formel nach der Zeit t auf, so erhalten wir: t ≈0,142•s0,5 (Wir schreiben statt des Wurzelzeichens die Potenz 0,5) . Die Zeit, die bis unmittelbar vor dem (n+1)-ten Aufprall vergeht, berechnen wir wie folgt:

0,142•1 + 2•0,142•0,950,5 + 2•0,142•0,951 + 2•0,142•0,953/2 + ... + 2•0,142n/2 =

= 0,142 + 2•0,142•0,950,5 • ( 1 + 0,950,5 + 0,951 + .... + 0,95(n-1)/2) =

= 0,142 + 0,2768•( ( 1 – 0,95n/2)/( 1 – 0,950,5)≈ 0,142 + 10,93•( 1 – 0,95n/2)

Lässt man n über alle Grenzen wachsen, so strebt der zweite Summand gegen den Grenzwert

10,93.Das Hüpfen dauert nicht länger als ( 0,142 + 10,93) sec = 11,072 sec, also rund 11,1Sekunden.

( Bei den zuletzt durchgeführten Umformungen haben wir die Potenzregel (ap)q = apq benutzt)