Eine besondere Quadratzahl

In der Landesrunde einer Mathematikolympiade aus den neunziger Jahren stand die folgende Aufgabe.


Gegeben ist eine natürliche Zahl, die (im dekadischen Positionssystem) aus n Neunen besteht.
Welche Ziffern kommen im Quadrat einer solchen Zahl vor und an welchen Stellen stehen sie dort?

999...9 = 10n- 1 und (10n – 1)2 = 102n - 2•10n + 1 = 10n ( 10n – 2) + 1

Die Zahl 10n – 2 besteht aus n Ziffern. Die ersten n – 1 Ziffern sind Neunen, die letzte ist die Ziffer 8. Die Multiplikation mit 10n fügt dieser Ziffernfolge n Nullen an, die Addition von 1 ersetzt die letzte dieser Nullen durch die Ziffer 1.

Damit setzt sich das Quadrat der Zahl wie folgt zusammen:
Es besteht aus insgesamt 2n Ziffern ( Das folgt übrigens schon aus dem Term 102n - 2•10n +1 ):
Die ersten n-1 Ziffern sind Neunen, dann folgt eine 8, es folgen n – 1 Nullen, und die letzte Ziffer ist die 1.