Die Warteschlange vor unserem Sekretariat

Anfang März, wenn die Neulinge an unserer Schule angemeldet werden, stellt der Hausmeister ein paar Stühle vor das Sekretariat, damit die wartenden Eltern eine Gelegenheit haben, sich zu setzen. Wir wollen erreichen, dass nur sehr selten jemand im Stehen warten muss; allerdings sollen auch nicht zu viele Stühle unnütz auf dem Flur herumstehen.

In fast allen Fällen wird ein Schüler von nur einer Person angemeldet. Am ersten Tag der Anmeldungen oder an einem Samstagmorgen kann es vorkommen, dass innerhalb von drei Stunden 40 Schüler angemeldet werden. Eine Anmeldung dauert im Schnitt fünf Minuten.
Wir wollen annehmen, dass die Eltern ihr Kommen nicht untereinander verabreden, sondern zufällig erscheinen und dass es innerhalb der drei Stunden keine von ihnen bevorzugten Zeiten gibt.
  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass überhaupt ein Stuhl benötigt wird?
  • Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden zwei Stühle benötigt?
  • Wir wollen erreichen, dass höchstens einer von zwanzig Anmeldenden in die Verlegenheit kommt, eine Weile stehen zu müssen.
  • Wie viele Stühle muss der Hausmeister aufstellen?

Das Problem lässt sich wie folgt modellieren.

Wir unterteilen die 3 Stunden in aufeinanderfolgende Fünf-Minuten-Intervalle; es gibt davon 180/5 = 36. Die Wahrscheinlichkeit p, dass eine Person sich für ein gegebenes Intervall entscheidet, ist 1/36 (Hier geht die Voraussetzung ein, wonach es keine Verabredungen und keine bevorzugten Zeiten gibt).

Wenn n = 40 Personen sich zu entscheiden haben, werden im Mittel μ= n•p = 40/36 = 1,1 Personen sich für ein gegebenes Intervall entscheiden und damit zugleich auftreten.

( Natürlich gibt es keine zehntel Person; der Zahlenwert 1,1 drückt aus, dass man meist mit einer Person, mitunter aber auch mit mehr als einer Person zu rechnen hat). Dem Sprachgebrauch der Mathematik folgende bezeichnen wir die Personen, die sich für ein gegebenes Intervall entscheiden, als „Treffer“.

Die recht kleine Wahrscheinlichkeit p, die große Anzahl n und die genannten Voraussetzungen machen es möglich, eine Poisson-Verteilung anzunehmen. Danach ist die Wahrscheinlichkeit P(X=k), dass genau k Treffer erfolgen:

P(X=k) = ( μk/k!)• e – μ Insbesondere gilt: P(X=0) = e μ

Die Wahrscheinlichkeit, dass es mehr als einen Treffer gibt ( dass überhaupt ein Stuhl benötigt wird) ist

P ( X > 1) = 1 – P(X≤ 1) = 1 – e – 1,1(1 + 1,11/1! ) = 0,30

Dass mehr als zwei Personen ankommen, hat die Wahrscheinlichkeit

P(X > 2) = 1 – P(X≤ 2) = 1 – e – 1,1( 1 + 1,11/1! + 1,12/2!) = 0,099 ≈ 0,1 ( zehn Prozent)

Wir probieren : P(X>3) = 1 – P(X≤3) = 1 – e - 1,1( 1 + 1,11/1! + 1,12/2! + 1,13/3!) ≈ 0,026

Wenn nur ein Stuhl vorhanden ist, wird jeder zehnte Anmeldende damit zu rechnen haben, dass er im Stehen warten muss; sind zwei Stühle vorhanden, wird nur jeder Vierzigste in diese Verlegenheit kommen. Es genügt also für unser o.g. Ziel, wenn zwei Stühle vor der Tür aufgestellt werden.