Ein Spezialfall der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

Aus der Mathematikolympiade der Klassenstufe 9 des Jahres 2008



Seien a, b, c positive Zahlen mit a + b + c = 1. Zeige: 1/3 ≤ a2 + b2 + c2 ≤ 1

Lösen wir zunächst die rechte der beiden Ungleichungen

a2 + b2 + c2 ≤ 1

Nach Voraussetzung ist a + b + c = 1 , und damit (a + b + c )2 = 1

Ausrechnen des Quadrates und Zusammenfassen : a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = 1

Oder a2 + b2 + c2 = 1 – 2 (ab +ac +bc )

Da a,b,c nach Voraussetzung positiv sind, gilt a2 + b2 + c2 ≤ 1

Das Gleichheitszeichen gilt für den Fall ab+ac+bc = 0 . Da a,b,c positiv sind, muss jedes der Produkte ab,ac,bc in diesem Fall gleich Null sein, und das bedeutet, dass höchstens eine der drei Zahlen von Null verschieden sein kann. Andererseits muss ihre Summe gleich 1 sein.

Somit steht das Gleichheitszeichen in den Fällen a=1,b=0,c=0 und a=0,b=1,c=0 und a=0,b=0,c=1.

Kommen wir nun zur linken der beiden Ungleichungen

1/3 ≤ a2 + b2 + c2

Die Voraussetzung a+b+c =1 bedeutet, dass das arithmetische Mittel der drei Zahlen gleich 1/3 ist. Das bringt uns auf die Idee, die Differenzen der drei Zahlen zu 1/3 einzuführen:

δa = 1/3 –a, δb = 1/3 – b und δc = 1/3 – c . Es gilt wegen a+b+c= 1: δa + δb + δc = 0

Es ist zu zeigen: 1/3 ≤ (1/3 – δa)2 + (1/3 – δb)2 + (1/3 – δc)2

Ausrechnen der Quadrate, Zusammenfassen und Berücksichtigen, dass δa+δbc = 0 führt zur Ungleichung : 1/3 ≤ 1/3 + δa2 + δb2 + δc2 oder 0 ≤ δa2 + δb2 + δc2 .

Damit ist die Ungleichung bewiesen.

Gleichheit gilt im Fall, dass die drei Differenzen gleich Null sind oder a=b=c=1/3

Wenn man will, kann man zur Lösung dieses Teils der Ungleichung schweres Geschütz auffahren, die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Sind xi, yi ( i = 1,2,....,n ) reelle Zahlen, so besagt diese Ungleichung, dass gilt:

( x1y1 + x2y2 + ... + xnyn)2 ≤ ( x12 + x22 + … + xn2)(y12 + y22 + …+ yn2)

Wählt man n = 3 und y1 = y2 = y3 = 1, so geht die Ungleichung über in

(x1 + x2 + x3)2 ≤ (x12 + x22 + x32)• 3, und mit x1 + x2 +x3 = 1 erhält man die zu beweisende Ungleichung.

Schließen wir noch ein paar Überlegungen zur Aufgabe an.

Wie gerade gesehen, wird zum Beweis der linken Ungleichung nur die Voraussetzung a+b+c=1 benötigt, nicht aber die, wonach a,b,c positive Zahlen sind. So ist z.B. a= -1, b=0, c=2 eine Lösung der linken Ungleichung.

Allerdings löst dieses Tripel die rechte Ungleichung nicht. Muss für deren Gültigkeit vorausgesetzt werden, dass a,b,c alle positiv sind, oder genügt eine schwächere Voraussetzung?

Notwendig und hinreichend dafür, dass die rechte Ungleichung gilt, ist

ab + ac +bc 0 Û a(1-a) + b(1 – a – b) 0.

Aufgefasst als quadratische Gleichung zur Bestimmung von b in Abhängigkeit von a kommt man zu

( b – (1-a)/2)2 ≤ a(1-a) + ((1-a)/2)2

Die rechte Seite muss postiv sein: a(1-a) + ((1-a)/2)2 ≥0 Û ( 1 – a)(3a + 1) ≥ 0

Þ ( (1-a)≥ 0 und zugleich (3a+1)≥ 0 ) oder auch ( (1-a)≤ 0 und zugleich (3a + 1) ≤ 0)

Û ( 1≥ a und zugleich a ≥ - 1/3 ) oder auch (1≤ a und zugleich a ≤ -1/3)

Die erstgenannten Bedingungen ergeben das Intervall [ -1/3; 1] ,

die anderen ergeben keine Lösung.

Es folgt, dass a,b,c, aus dem genannten Intervall gewählt werden müssen.

Tatsächlich ist z.B. a = -1/3, b = 2/3, c = 2/3 eine Lösung der gestellten Aufgabe.

Es hätte als Voraussetzung für a,b,c neben der Gleichung a + b + c = 1 genügt, zu verlangen, dass sie größer oder gleich –1/3 sein müssen. Aber das hätte die Lösung der Aufgabe erschwert.