Ein Rätsel aus uralten Zeiten

Die beiden Rätsel stammen aus der Schule des Pythagoras und sind damit gut zweieinhalbtausend Jahre alt.



Addiere die ersten zwei, drei, vier, fünf ungeraden Zahlen. Fällt Dir eine Regelmäßigkeit auf?
Wenn ja, formuliere diese in der Weise: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist gleich...und versuche, Deine Vermutung zu beweisen.
Gehe dann in gleicher Weise mit der Folge der geraden Zahlen vor.

1 + 3 = 4,1+3+5 = 9, 1+3+5+7 = 16, 1+3+5+7+9 = 25; es folgen 36, 49, 64

Vermutung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist gleich n2.

2 + 4 = 6; 2+4+6 = 12; 2+4+6+8 = 20; es folgen 30, 42, 56

Wegen 6 = 2∙3, 12 = 3∙4, 20 = 4∙5, 30 = 5∙6, 42 = 6∙7 und 56 = 7∙8 kann man vermuten:

Die Summe der ersten n geraden Zahlen ist gleich n∙(n+1)

Die Pythagoräer nannten die letztgenannten Zahlen „Rechteckzahlen“ im Gegensatz zu den „Quadratzahlen“ aus der ersten Folge.

Beweise aus dieser frühen Zeit gibt es kaum; so ist z.B. nicht bekannt, ob Pythagoras den nach ihm benannten Satz bewiesen hat.

Zum Beweis verwenden wir die Summenformel 1 + 2 + 3 + ...+ n = n∙(n+1)/2

1 + 3 + 5 + ... + 2(n-1) +1 = 1 + (2∙1+ 1) + (2∙2 + 1) + ...+ (2(n-1) + 1) =

= n + 2∙( 1 + 2 + ...+ (n-1)) = n + 2∙(n-1)∙n/2 = n + (n-1)n = n + n2 – n = n2

Und die Summe der ersten n geraden Zahlen ist gegeben durch

2 + 4 + ....+ 2n = 2∙( 1 + 2 + ... + n) = 2∙n∙(n+1)/2 = n∙(n+1)

Die Herleitung der genannten Summenformel ist (bisher noch ) eine „Schulbuchweisheit“.

Man schreibt die Summe zweimal auf, einmal in gewohnter, dann in umgekehrter Reihenfolge und addiert:

1 + 2 + 3 + ..... + n-1 +n

+    n + n-1+ n-2+..... + 2 +1

= n∙(n+1)

Damit ist die gesuchte Summe gegeben durch n∙(n+1)/2