Eine Logelei

Robert und Claudia spielen beim W-L-Spiel mit. Jeder Teilnehmer gehört entweder zu den Wahrhaftigen (W) oder zu den Lügnern (L). Die W sagen immer die Wahrheit, die L lügen immer.
  1. Robert sagt: "Claudia und ich gehören beide zu den Lügnern".
  2. Robert sagt: "Von uns beiden gehört wenigstens einer zu den Lügnern".
Genügen diese Aussagen schon, um jeweils zu entscheiden, zu welcher Gruppe Robert und zu welcher Gruppe Claudia gehört?

Es handelt sich hier um einen Aufgabentyp ( Flussdiagramme), der im angelsächsischen Sprachgebiet weit verbreitet ist und der übrigens in den PISA-Tests vertreten war. Ist man damit nicht vertraut, wird es schwierig; hat man sich an das Lösungsverfahren gewöhnt, kommt man leicht zurecht.

Wir verwenden die folgenden logischen Zeichen:^„und zugleich“ ; v: „oder auch“ und die folgenden Abkürzungen:

R : Robert gehört zu den W,   R: Robert gehört zu den L

C : Claudia gehört zu den W,   C: Claudia gehört zu den L

Der Verständlichkeit halber setzen wir in die Flussdiagramme Erläuterungen hinein

Zu a)

logelei1 logelei2
Der Lösungsweg ist in beiden Fällen der gleiche: Man benutzt die Voraussetzung, dass jeder der beiden entweder konsequent lügt oder konsequent die Wahrheit sagt. So ist es möglich, die Verzweigung "R sagt entweder die Wahrheit oder er lügt" zu machen.

Mit eben dieser Verzweigung (und der gleichen Voraussetzung) lässt sich auch eine Lösung zum uralten Problems des Kreters finden.
Ein Kreter ( Kr) sagt: "Alle Kreter lügen." Sagt er die Wahrheit?
logelei3
Eine elegante Methode, solche Aufgaben zu lösen, bietet die Mengenschreibweise.
Kehren wir zur ersten Aufgabe zurück und führen folgende Abkürzungen ein: "1" für "sagt die Wahrheit" und "0" für "lügt".
Es gibt die folgenden vier Möglichkeiten
R C
1 1
1 0
0 1
0 0

a) R sagt: „R und zugleich C lügen“. Die Aussage ist repräsentiert durch die Menge { (0|0)}

Es sind zwei Fälle zu unterscheiden. Erstens: R sagt die Wahrheit. Zweitens: R lügt.

Im ersten Fall ist die Lösungsmenge gegeben durch die Schnittmenge

{ (1|x)}∩ {(0|0)}= {} ; diese Menge ist leer

Im zweiten Fall ist die Lösungsmenge gegeben durch die Schnittmenge

{(0|x)}∩ {(1|0), (0|1), (1|1)}= { (0|1)}

Ergebnis: R lügt, C sagt die Wahrheit

b) R sagt: „Wenigstens einer von uns beiden lügt“ . Die Aussage ist repräsentiert durch die Menge {(1|0), (0|1), (0|0)}

Es sind zwei Fälle zu unterscheiden. Erstens: R sagt die Wahrheit. Zweitens: R lügt.

Im ersten Fall ist die Lösungsmenge gegeben durch die Schnittmenge

{ (1|x)}∩ {(1|0), (0|1), (0|0)}= {(1|0)}

Im zweiten Fall ist die Lösungsmenge gegeben durch die Schnittmenge

{(0|x)}∩ { (1|1)}= { }; diese Menge ist leer

Ergebnis: R sagt die Wahrheit, C lügt