Keine Angst vor Brüchen

Aus einer Kreisrunde der Mathematikolympiade 1994/95, Klasse 7


Großvater hat seinen drei Enkeln einen Korb mit Nüssen mitgebracht, die sich diese teilen sollten.
Lars, der allein zu Hause war, nahm als erster seinen Anteil: Er entnahm dem Korb ein Drittel der Nüsse. Katja, die beim Nachhausekommen nicht wusste, dass sich Lars bereits bedient hatte, nahm von den im Korb verbliebenen Nüssen ein Drittel. Schließlich nahm auch Markus ein Drittel der im Korb verbliebenen Nüsse. Nun waren noch genau 16 Nüsse im Korb.
Wie viele Nüsse hat jedes der drei Kinder genommen?

1. Lösungsweg. Sozusagen der Klassiker.

Wir bezeichnen mit x die Zahl der Nüsse, die vor den Entnahmen im Korb waren. Es gilt dann:

x – x/3 – 1/3 ( x – x/3) – 1/3( x – x/3 – 1/3(x – x/3)) = 16

Zusammenfassen, Ausrechnen der Klammerinhalte:

2/3 x – 1/3·2/3 x – 1/3( 2/3 x – 1/3·2/3 x) = 16

2/3x – 2/9 x – 1/3 ( 2/3x – 2/9x) = 16

(4/9)· x – 1/3· (4/9)· x = 16 Und damit gilt: (4/9)· x ·2/3 = 16 , also (8/27)·x = 16, und

schließlich x = 16· (27/8) = 54

Im Korb waren anfangs 54 Nüsse. Davon hat Lars ein Drittel, das sind 18 Nüsse, entnommen. Katja hat (54 – 18) Nüsse = 36 Nüsse vorgefunden, davon ein Drittel, das sind 12 Nüsse, entnommen. Und Markus hat von den verbliebenen 24 Nüssen ein Drittel, das sind 8 Nüsse, entnommen.

Probe: 54 – 18 – 12 – 8 = 54 – 38 = 16

Man kann die Aufgabe auch vom Ende her lösen. Markus hat 16 Nüsse übrig gelassen; das sind zwei Drittel der von ihm vorgefundenen , ein Drittel hat er entnommen: Er hat 8 entnommen und 24 vorgefunden. Katja hat 24 übriggelassen, das waren zwei Drittel der Anzahl, die sie vorgefunden hatte, ein Drittel davon hatte sie entnommen: Sie hat 36 vorgefunden und 12 entnommen. Und schließlich hat Lars 36 Nüsse zurückgelassen, das sind zwei Drittel der Anzahl, die er vorgefunden hat: Er hat 18 Nüsse entnommen und 54 vorgefunden. Probe: 16 + 8 + 12 + 18 = 54