Eine kleine Knobelei

Aus der 2. Runde der Mathematikolympiade (Kreisrunde) 1994/95, Klassenstufe 5.


Auf die linke Waagschale einer Waage werden fünf leere Wasserflaschen gestellt, auf die rechte Waagschale zwei volle. Dann ist die Waage im Gleichgewicht.
  1. Britta füllt zwei der leeren Flaschen mit Wasser und erreicht dann wieder Gleichgewicht, indem sie auf die rechte Waagschale leere Flaschen dazustellt. Wie viele leere Flaschen sind das?
  2. Jan entleert danach eine der rechts stehenden Flaschen und nimmt von der linken Waagschale eine leere Flasche weg. Welche Waagschale neigt sich nach unten?
  3. Pia nimmt alle Flaschen von der Waage. Dann stellt sie links zwei volle Flaschen und eine leere Flasche auf, rechts eine volle Flasche und drei leere Flaschen. Welche Waagschale neigt sich nach unten?

Es gibt hier viele Möglichkeiten zu knobeln. Wir wählen den folgenden Weg.

Bezeichnungen: L : Gewicht einer leeren Flasche     V : Gewicht einer vollen Flasche.

Nach Voraussetzung ist    2V = 5L

1.)   3L + 2 V = 2V + xL ⇒ 3L = xL ⇒ x = 3
Britta muss drei leere Flaschen auf die rechte Schale stellen

2.)   Ausgangslage: Es stehen rechts 2 volle und 3 leere Flaschen, links zwei volle und drei leere. Nachdem Jan wie beschrieben gehandelt hat, stehen rechts eine volle und vier leere Flaschen, links zwei volle und zwei leere Flaschen. Wir bilden die Differenz zwischen dem Gewicht auf der rechten und dem auf der linken Seite:

V + 4L - (2V + 2L) = - V + 2L = - 5/2 L + 2L = - L/2 < 0

Die linke Seite ist schwerer; die Waage senkt sich nach links.

3.)   Wir bilden wieder die Differenz zwischen den Gewichten auf der rechten und denen auf der linken Seite

1V + 3L - ( 2V + 1L) = - V + 2L = -5/2 L + 2L = - L/2 < 0

Die Waage senkt sich wieder nach der links.

Schon an diesem einfachen Beispiel zeigt sich ein Vorteil, den das Fach Mathematik auszeichnet: Es ist möglich, in einem begrenzten, durch die Aufgabenstellung abgesteckten Gebiet eine vollkommene Arbeit vorzulegen.