Nicht zu lange suchen!

Aus einer Kreisrunde der Mathematikolympiade 1994/95, Klasse 7


Eine sechsstellige Zahl hat die Form 42x7y; man weiß, dass sie durch 24 teilbar ist.
Die Ziffern x und y sind zu suchen ( ab Klassenstufe 6).

Da x und y eine der zehn Ziffern sind, gibt es 100 Zahlen, die zunächst in Frage kommen. Man könnte nun alle diese 100 Ziffern der Reihe nach durch 24 dividieren und prüfen, ob sich der Rest 0 ergibt. Aber diese aufwendige Suche sollte man abkürzen. Um die Suche abzukürzen, bieten sich die Teilbarkeitsregeln an.

Die Zahl muss durch 2 teilbar sein, weshalb y nur die Werte 0,2,4,6,8 annehmen kann.

Allein diese Bedingung halbiert die Zahl der Kandidaten auf 50.

Die Zahl muss sogar durch 8 teilbar sein, und das bedeutet, dass die Zahl, die aus den drei letzten Ziffern x7y gebildet wird, durch 8 teilbar sein muss. Darauf kommen wir noch zurück; aber schon ein erstes rasches Durchmustern der zehn Zahlen der Form x70 zeigt, dass keine davon durch 8 teilbar ist: Wir können y= 0 ausschließen, womit sich die Zahl der Kandidaten auf 40 reduziert.

Die Zahl muss durch 3 teilbar sein, und deshalb muss auch ihre Quersumme Q durch 3 teilbar sein. Da Q = 13 + x + y folgt, dass x + y bei Teilung durch 3 den Rest 2 haben muss. Zusammen mit der Bedingung x+y < 18 ( y kann nicht gleich 9 sein!), bedeutet das:

x+y∈{ 2,5,8,11,14,17}

Jetzt tabellieren wir die noch verbleibenden Möglichkeiten. Die erste Spalte enthält y, die zweite die nach der eben angegebenen Einschränkung verbleibenden Möglichkeiten für x, die dritte schließlich die Zahl x7y. Diese muss durch 8 teilbar sein; die Lösungen sind rot gedruckt. Wie wir sehen , sind von den ursprünglich 100 Möglichkeiten nur noch 13 übrig geblieben.

y

x

x7y

2

0,3,6,9

072, 372, 672 , 972

4

1,3,7

174, 374, 774

6

2,5,8

276, 576, 876

8

3,6,9

378,678,978

Probe : 42072 : 24 = 1753 und 42576 : 24 = 1774

War die Probe eigentlich notwendig ? Sinnvoll war sie gewiss, um auf eventuelle Rechenfehler aufmerksam zu machen. Notwendig ist sie nicht, da 24 = 23·3.

Weiterführende Aufgabe: Gib die Primzahlzerlegung von 42576 an. 1774 = 2·887, und 887 erweist sich als Primzahl (Es genügt, ihre Teilbarkeit durch eine Primzahl bis zur Primzahl 29 zu testen; ich fand bis dahin keinen Teiler).Damit wäre 42576 = 24·3·887

Es mag im Zeitalter der Computer unnötig erscheinen, eine Aufgabe anzugehen, deren Sinn darin besteht, eine Suche einzuschränken. Auf den ersten Blick erscheint es sinnvoller zu sein, ein Programm zu schreiben, das die 100 ursprünglichen Möglichkeiten durchmustert. Aber auch heutzutage hat die praktische Mathematik, zu deren wichtigsten Zielen das Einschränken von Suchvorgängen gehört, ihre Bedeutung nicht im geringsten eingebüßt. Deshalb sollte man auch solche Aufgaben üben; bescheidene Probleme wie das gegebene sind als „Geschmacksprobe“ für die „große“ Mathematik geeignet.