Auf der Rennbahn

Die folgende Aufgabe stammt aus dem "Mathematischen Übungsbuch" von Hugo Fenkner, das vor hundert Jahren an unserer Schule wie an allen königlich preußischen Oberrealschulen in Gebrauch war.


Zwei Reiter A und B reiten auf einer Rennbahn von 1800 m Umfang von einer gemeinsamen Anfangsstellung aus gleichzeitig nach entgegengesetzten Richtungen ab. A legt in der Sekunde 7 m und B 5 m zurück.
Nach wieviel Sekunden werden die Reiter jedesmal aneinander vorbeireiten?

So weit die Aufgabe in dem Übungsbuch. Wir ergänzen die Aufgabe.
  • Nach welcher Zeit werden sie sich zum ersten Mal wieder in ihrer Anfangsstellung begegnen?
  • Wieviele Runden wird dann A, wieviele Runden wird dann B zurückgelegt haben? ( Wir setzen voraus, dass es sich um unermüdliche Pferde handelt, die über eine so lange Zeit ihre Geschwindigkeit beibehalten können).
  • Kann man die Geschwindigkeiten der beiden Pferde so wählen, dass sie sich niemals wieder in der Anfangsstellung begegnen?

A und B begegnen sich erstmals, nachdem sie zusammen eine volle Runde, 1800m, zurückgelegt haben. Das dauert ebenso lange wie ein Körper dazu benötigen würde, der sich mit der Geschwindigkeit ( 5 + 7 ) m/sec bewegen würde. Das sind 1800m/(12m/sec) = 150sec. Nach der ersten Begegnung gilt die gleiche Überlegung für die nächste und dann für alle weiteren Begegnungen: Die Reiter reiten alle 150 sec aneinander vorbei.

Wir bezeichnen mit T die Zeit, die bis zur ersten Begegnung in der Anfangsstellung vergeht, mit p die Anzahl der Begegnungen bis dahin, mit qA, qB die Anzahlen der Runden, die A bzw. B bis dahin gedreht haben. T ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zeiten, die zwischen zwei Begegnungen vergeht und welche für eine Runde von A bzw. von B benötigt werden.
Wir erhalten T = p·1800/12 = qA·1800/7 = qB·1800/5 . Es folgt p/qA = 12/7 und p/qB = 12/5. A und B sind sich bis zum ersten Treffen in der Anfangsstellung zwölfmal begegnet; A hat bis dahin sieben, B hat bis dahin 5 Runden gedreht; die Zeit T = 12·150sec = 1800 sec. Seien nun vA, vB die Geschwindigkeiten von A und B; die anderen Bezeichnungen behalten ihre Bedeutung bei. Wir erhalten:

p·1800/(vA + vB) = qA·1800/vA = qB·1800/vB ⇔  p/(vA+vB) = qA/vA= qB/vB (*)

Es folgt: p/qA = (vA + vB)/vA = 1 + vB/vA und p/qB = 1 + vA/vB und qA/qB = vA/vB

Da p, qA, qB ganze Zahlen sind, muss vA/vB eine rationale Zahl sein. Ist das nicht der Fall, begegnen sich A und B niemals wieder in der Anfangsstellung. Ein Beispiel dafür ist vA = 2π m/sec, vB = 5 m/sec.

Die Aufgabe ist hiermit gelöst. Es fällt auf, dass im gegebenen Beispiel die Maßzahl der Zeit T und die Maßzahl der Länge einer Runde übereinstimmen ( 1800). Schauen wir näher hin.

Die mit (*) bezeichnete Gleichung bedeutet, dass man das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 1/vA und 1/vB sucht. Man löst das Problem, indem man den Quotienten vA/vB so lange umformt, bis er in der Gestalt vA/vB = a/b vorliegt, wobei a, b ganzzahlig und teilerfremd sind. Dann ist qA/qB = a/b . Da qA, qB die kleinsten ganzen Zahlen sind, welche diese Gleichung erfüllen, ist qA = a und qB = b.

a, b sind die Anzahlen von Runden von A, B bis zur ersten Begegnung in der Anfangsstellung. Die Zeit T bis zu dieser Begegnung ergibt sich wie folgt:
T = (a·1800sec/vA) = (b·1800sec)/vB . Im Fall, dass vA, vB ganzzahlig sind, bedeutet dies, 1800 durch den ggT von vA, vB zu dividieren.

Wir rechnen zwei Beispiele.

vA = 7,2 m/sec , vB = 4,6 m/sec. Es ist vA/vB = 7,2/4,6 = 72/46 = 36/23 .
Zur ersten Begegnung in der Anfangsstellung kommt es, nachdem A 36 Runden gedreht hat und B 23 Runden. Die Zeit bis dahin: T = ( 36·1800/7,2) sec = 1800·5 sec = 9000 sec.

vA = 3π m/sec, vB = 2π m/sec. Es ist vA/vB= 3/2. Hat A drei Runden bzw. B zwei Runden gedreht, kommt es zur ersten Begegnung in der Anfangsstellung; T = (1800/π ) sec.

Wer die physikalische Eleganz liebt, dem sei die folgende Lösung empfohlen.
Wir nehmen als ruhendes System nicht wie bisher und wie es nahe liegt die Rennbahn, sondern den Reiter A. Dann sieht das Problem wie folgt aus. Auf den ruhenden A rennen der Reiter B mit der Geschwindigkeit vA + vB , die Anfangsstellung Z mit der Geschwindigkeit vA los Die Zeit für eine Runde von B - das ist die oben gesuchte Zeit, die zwischen zwei aufeinanderfolgenden Begegnungen der beiden Reiter vergeht - ist gleich 1800/( vA + vB ), die Zeit T, bis sie beide erstmals bei A zusammentreffen, ist das kleinste gemeinsame Vielfache ihrer jeweiligen Rundenzeit, das führt zur Gleichung

p·1800/(vA + vB) = qZ·1800/vA ⇔ p/qZ = (vA + vB)/vA

Man formt den Quotienten (vA + vB)/vA so lange um, bis Zähler und Nenner ganzzahlig und teilerfremd sind. Dann ist der Zähler gleich der Anzahl Begegnungen von A und B, die bis zum ersten Zusammentreffen von Zielpunkt Z und Reiter B beim ruhend gedachten Reiter A vergeht, der Nenner ist gleich der Anzahl Runden, die der Zielpunkt Z bis dahin zurückgelegt hat.
Umformuliert in den Fall als ruhend genommener Bahn: Der Zähler gibt die Anzahl der Begegnungen von A und B bis zum ersten Zusammentreffen in der Ausgangsstellung an, der Nenner die Anzahl der Runden, die A bis dahin zurückgelegt hat ( qZ = qA).
Nehmen wir eines der oben angeführten Beispiele:

vA = 7,2 m/sec , vB = 4,6 m/sec. Es ist (vA + vB)/vA = 11,8/ 4,6 = 118/46 = 59/36 . Zur ersten Begegnung in der Anfangsstellung kommt es, nachdem A 36 Runden gedreht hat und sich beide 59 Mal begegnet sind. Die Zeit bis dahin: T = ( 36·1800/7,2) sec = 1800·5sec = 9000 sec ( = (59·1800/118) sec).