Primzahlen und Quadratzahlen

Seien x, y natürliche Zahlen.
  1. Löse die folgende Gleichung

    (0)   (x - y)·( x + y + 1 ) = 100

  2. Sei nun n eine feste natürliche Zahl. Zu lösen ist die Gleichung

    (1)   ( x - y )· ( x + y + 1 ) = n2

    Zeige, dass in den Fällen, in denen (1) lösbar ist, folgendes gilt.
    • Einer der beiden Faktoren ( x - y ) und ( x + y + 1) ist ungerade, der andere gerade
    • Falls die beiden Faktoren teilerfremd sind, so sind sie Quadratzahlen

  3. Gib eine Zahl n an, so dass (1) nicht lösbar ist.
    In welchen Fällen hat (1)
    • keine Lösung
    • genau eine Lösung
    • mehr als eine Lösung

a) Es gibt die folgenden Möglichkeiten, die Zahl 100 als Produkt zweier natürlicher Zahlen zu schreiben

1•100, 2•50, 5•20, 4•25, 10•10

Im zweiten und im letzten Fall ist die Gleichung nicht lösbar; die anderen Lösungen sind ( in der Form(x|y) angegeben) : (50|49), (12|7), (14|10). So erhält man z.B. im Fall 5•20 die Lösung wie folgt: x – y = 5 und x + y + 1 = 20 bzw. x + y = 19 : 2x = 24 und damit x=12, y=7.

b) Die Summe der beiden Faktoren (x-y) und (x+y+1) ist die ungerade Zahl 2x + 1. Deshalb muss einer der beiden Summanden gerade, der andere ungerade sein.

Eine – von 1 verschiedene - natürliche Zahl ist genau dann eine Quadratzahl, wenn in ihrer Primzahlzerlegung jeder Primfaktor eine gerade Hochzahl hat. Sind (x-y) und (x+y+1) teilerfremd, so haben sie keinen Primfaktor gemeinsam, und deshalb muss in ihrer jeweiligen Primzahlzerlegung jede Primzahl mit einer geraden Hochzahl vorkommen; beide sind demnach Quadratzahlen. Im Beispiel a) ist das der Fall bei 100 = 4•25

c) Die Gleichung ( x-y )•(x + y + 1) = 152 = 225 hat keine Lösung, da 225 sich nicht als Produkt aus einer geraden und einer ungeraden Zahl darstellen lässt.

Die Gleichung (1) hat keine Lösung, wenn n eine ungerade Zahl ist. Sie hat genau eine Lösung, wenn n eine Zweierpotenz ist ( und zwar die Lösung, die sich aus x –y =1 und x+y+1= 22m ergibt:
x = 22m – 1 , y = 22m-1 – 1 ); in den anderen Fällen hat sie mehr als eine Lösung.