Mathematik am Nil

Versucht man, im Kopf die Zahlen 13 und 212 zu multiplizieren oder den Quotienten aus 7923 und 19 zu ermitteln, so gerät man vielleicht in Verlegenheit. Viel leichter ist es, Zahlen im Kopf zu verdoppeln oder zwei Zahlen im Kopf zu addieren. Aber vielleicht kann man die erstgenannten Probleme auf Aufgaben der zweiten Art zurückführen? Genau das haben die Ägypter schon zweitausend Jahre vor Christi Geburt so gemacht; bis weit in das hellenistische Zeitalter hinein war die Methode als "ägyptisches Rechnen" bekannt. Viel fehlte nicht daran, und die Ägypter hätten das Dualsystem entdeckt. Sehen wir zu!
Da es hier um den Reiz und die Stärke der ägyptischen Mathematik und nicht um detailgetreue Widergabe der historischen Vorlagen geht, wird man akzeptieren, dass die Symbole für Zahlen und Operationen nicht in Hieroglyphen, sondern in unserer Schreibweise angegeben sind...

Wie hätte man im "ägyptischen Rechnen" 13 und 212 multipliziert? Es wird eine Tabelle mit drei Spalten aufgestellt. In die erste Zeile der mittlere Spalte kommt der größere der beiden Faktoren, das ist hier die Zahl 212, darunter das Doppelte davon, dann das Doppelte vom Doppelten, dann das Achtfache und ...dann kann man im vorliegenden Fall schon aufhören, wie wir gleich sehen werden.

In der linken Spalte wird vermerkt, das Wievielfache von 212 in der mittleren Spalte jeweils steht; d.h. in der linken Spalte stehen die Zweierpotenzen. Einfacher ausgedrückt: In die linke Spalte kommen die Zweierpotenzen, in die mittlere die Produkte aus den Zweierpotenzen und der Zahl 212.
1 212 *
2 424  
4 848 *
8 1696 *

Die Sternchen in der dritten Spalte geben an, welche der Zahlen der zweiten Spalte man zu addieren hat, um das gesuchte Produkt zu erhalten. Die Entscheidung darüber, ob eine Zahl aus der zweiten Reihe in die Summe aufzunehmen ist, erfolgt so: Man nimmt sich die Spalte mit den Zweierpotenzen vor, geht diese von unten nach oben durch und wählt diejenigen davon aus, deren Summe den anderen, kleineren Faktor, hier die Zahl 13 ergibt: 8+4+1 = 13. Die vierte Verdoppelung hätte bereits zu einer Zahl größer als 13 geführt ( 16); man konnte hier nach der dritten aufhören.
Man addiert die zugehörigen Zahlen in der zweiten Spalte: 1696+848+212 = 2544+212=2756. Ergebnis: 13·212 = 2756

Woran liegt es, dass die beschriebene Methode des Multiplizierens natürlicher Zahlen immer eindeutig das richtige Ergebnis liefert ?
Ermitteln Sie nach dieser Methode den Quotienten aus 7923 und 19.
Im Papyrus Rhind ( etwa 1700 v.Chr.) werden die Zahlen 19 und 8 nach dieser Methode dividiert. Die Ägypter kannten nur einzelne Gruppen von Bruchzahlen, wie z.B. 1/2, 1/4 , 1/8 . Bestimmen Sie damit den Quotienten aus 19 und 8 und ebenso den aus 189 und 28.
Im Papyrus Rhind wird auch mit Resten gerechnet; so findet sich dort die Aufgabe, den Quotienten aus 753 und 26 zu berechnen. Wie kann die Aufgabe mit der angegebenen Methode gelöst werden?

Meine Quelle zu den historischen Angaben: Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: Geschichte der Mathematik, Oldenbourg-Verlag 2002

Das Verfahren besteht darin, einen der Faktoren, zweckmäßigerweise den kleineren, als Summe von Zweierpotenzen zu schreiben. Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig als eine Summe von Zweierpotenzen schreiben ( Zweiersystem oder Dualsystem).

So ist 13 = 8 + 4 + 1 = 23 + 22 + 20

Im vorliegenden Beispiel erhält man – jetzt in moderner Schreibweise - 13•212 = (8+4+1)•212 = 8•212+4•212+212=1696+848+212

Hätten die Ägypter ein Symbol für die Nicht-Aufnahme einer Zweierpotenz in die Summe eingeführt, so hätten sie eigentlich das Dualsystem nicht mehr übersehen können.

So ist im vorliegenden Beispiel 13 = 1•23 + 1•22 + 0•21 + 1•20 , oder abgekürzt
im Dualsystem: 13 = II0I2

Ein Symbol, das man als ein Zeichen für die Null auffassen könnte, taucht erst um das Jahr 200 v.Chr., d.h. während der hellenistischen Zeit in Ägypten auf . Das oströmische Reich von Byzanz und die islamischen Reiche unter den Arabern waren Erben der Kultur des Hellenismus; ob die Null im Osten des hellenistischen Kulturraumes, in Indien, entstanden ist und zusammen mit unseren anderen Ziffern über die Araber den Weg nach Europa gefunden hat oder ob sie griechische Vorläufer hatte, ist meiner o.g. Quelle nach bis heute nicht geklärt.

Gesucht ist nun der Quotient aus 7923 und 19, d.h. die Lösung der Gleichung

x•19 = 7923.

Wir legen die dreispaltige „ägyptische“ Tabelle an; in der ersten Spalte stehen die Zweierpotenzen, in der zweiten Spalte die Produkte aus diesen Potenzen und 19, die dritte enthält die Entscheidungen darüber, ob die Zahl aus der zweiten Spalte in die Addition zum Erreichen von 7923 aufgenommen wird oder nicht. Wir machen es im Fall des „nicht aufgenommen“ wie die Ägypter, indem wir die Entscheidungsspalte leer lassen, und so wie die Ägypter den Fehler begehen, Null für nichts zu halten. Man beginnt in der Tabelle von unten und arbeitet sich nach oben vor.

1 19 *
2 38
4 76
8 152
16 304
32 608 *
64 1216
128 2432 *
256 4864 *
512 9728

Hier sind wir eine Zeile weit über das Ziel hinausgeschossen; 9728>7923

Das erste Sternchen bekommt die Zahl 4864. Da 4864+2432= 7296, bekommt auch die Zahl 2432 ein Sternchen. Aber 7296+1216>7923. Weiter: 7296+608=7904: Sternchen an 608. Jetzt fehlen zu 7923 nur noch 19: Nächstes und letztes Sternchen erst bei 19.

Der gesuchte Quotient ist x = 256+128+32+1=417

Im Zweiersystem: x = 1•28 + 1•27 + 0•26 + 1•25 + 0•24 + 0•23 + 0•22 + 0•21 + 1•20

= I I 0 I 0 0 0 0 I 2

Gesucht ist die Lösung der Gleichung x•8 = 19 . Wir legen wieder die dreispaltige Tabelle an, wobei jetzt noch die Brüche 1/8, ¼ und ½ hinzukommen. In der zweiten Spalte stehen die Ergebnisse der Multiplikation der Zahlen aus der ersten Spalte mit der Zahl 8.

In der dritten Spalte steht wieder ein Sternchen, wenn die Zahl in der zweiten Spalte in die Addition mit dem Ziel 19 eingeht.

1/8 1/8•8 = 1 *
1/4 1/4•8 = 2 *
½ 1/2•8 = 4
1 1•8 = 8
2 2•8 = 16 *

19 = 8• ( 2 + ¼ + 1/8) = 8•( 1•21+ 0•20 + 0•2 – 1 + 1•2 – 2 + 1•2 - 3 ); die gesuchte Zahl ist
2,375 = I 0, 0 I I2

Gesucht ist die Lösung der Gleichung x•28 = 189

¼ 7 *
½ 14 *
1 28  
2 56 *
4 112 *

Es folgt x = 6,75 = I I 0 , I I 2

Wenn nur ausgewählte Bruchzahlen bekannt sind und wenn die Quotienten damit nicht darstellbar sind, muss man Reste lassen. Dazu das folgende Beispiel aus dem Papyrus Rhind

Gesucht ist x = 753:26 oder x•26 = 753

1 26
2 52
4 104 *
8 208 *
16 416 *

Es gilt 416 + 208 + 104 = 728. Addieren von 52 oder von 26 würde über 753 hinausführen; die Division von 26 durch 2 würde noch aufgehen, der verbleibende Rest von 13 ergäbe bei Division durch 4 oder 8 keine ganze Zahl. So wird die Aufgabe bei 728 abgebrochen, und das Ergebnis lautet x = (16+8+4) Rest 25 = 28Rest25