Ein Beispiel zur Rechenkunst der Ingenieure

Mein Freund Klaus Hoffmann, Dipl. Ing. und Bergassessor, war in seinem Berufsleben Hüttendirektor. Ingenieure mussten immer schon und sie müssen auch heute im Zeitalter der allgegenwärtigen Taschenrechner wenigstens überschlägig abschätzen können, was sich z.B. bei der Multiplikation zweier natürlicher Zahlen ergibt.

Häufig kommt es vor, dass die beiden Faktoren nicht allzu weit von einer bestimmten Zehnerpotenz entfernt liegen. In solchen Fällen gibt es ein Verfahren, das leicht im Kopf auszuführen ist und welches das Ergebnis nicht nur überschlägig, sondern exakt richtig liefert. Klaus war von dem Verfahren, das er bei einem indischer Ingenieur kennen gelernt hatte, so begeistert, dass er es heute noch beherrscht. Er hat mich neulich damit vertraut gemacht.


In dieser Aufgabe geht es darum, anhand von Beispielen die Vorgehensweise zu verstehen, sodann das Verfahren in eine Regel zu fassen und diese Regel zu beweisen. Klaus hatte mir ein paar Beispiele vorgeführt, indem er erst hinter die Faktoren zwei Zahlen schrieb, die hier kursiv gedruckt sind, und dann das Ergebnis gleich richtig hinschrieb. Ich stelle zehn Beispiele vor.
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 a)   Nach welcher Regel läuft das Verfahren ab?
 b)   Beweisen Sie, dass die Regel korrekt ist.

a) Seien x, y natürliche Zahlen und sei 10n eine Zehnerpotenz mit natürlicher Hochzahl n.

Man bildet die Reste rx = 10n – x und ry = 10n – y ( Das sind die in den Beispielen kursiv geschriebenen Zahlen)

Es gilt dann: x•y = 10n•( 10n – (rx + ry)) + rx•ry

In Worten: Subtrahiere von der Zehnerpotenz die Summe der beiden Reste und multipliziere diese Differenz mit der Zehnerpotenz. Addiere zum Ergebnis das Produkt der Reste.

In den Fällen (1) bis (4) ist das Produkt der Reste ein- oder zweistellig. In diesen Fällen hat die Regel die folgende einfache Form: Multipliziere die beiden Reste und bilde daraus die letzten beiden Stellen des Produkts ( u.U. mit einer führenden Null , wie im Beispiel (1)). Subtrahiere von 100 die Summe der Reste und setze diese Zahl an die ersten beiden Stellen des Produktes.

Im Beispiel (8) ist das Produkt aus den Resten dreistellig. Dann muss man die allgemein formulierte Regel anwenden.

In den Beispielen (9) und (10) wird die Regel auf drei-bzw. vierstellige Zahlen angewandt.

Da die Beispiele so gewählt sind, dass die Produkte der Reste drei-bzw. vierstellig sind, lässt sich die Regel wieder auf die einfache Form bringen: Bilde die letzten drei (bzw. vier) Stellen aus dem Produkt der Reste; die drei bzw. vier führenden Ziffern erhält man, indem man die Summe der Reste von 1000 bzw. 10 000 subtrahiert.

Die Regel reduziert sich auf die einfache Form in den Fällen, in denen die Reste nicht zu groß sind ( etwa ein Zehntel der jeweiligen Zehnerpotenz). Dann kann man bequem im Kopf multiplizieren.

b) Wir formen den Term auf der rechten Seite der Regel um.

10n•( 10n – (rx + ry)) + rx•ry = 102n – 10n•(rx + ry) + rx•ry = 102n – 10n•rx – 10n•ry + rx•ry =

102n – 10n•( 10n – x) – 10n•(10n – y) + (10n – x) • (10n – y) =

102n - 102n + 10n•x - 102n + 10n•y + 102n - 10n•y – 10n•x + x•y = x•y

Damit ist die Regel bewiesen.

Die Reste können auch negative Zahlen sein.

Die Regel funktioniert sogar dann, wenn man - geradezu kolossal unzweckmäßig - als Zehnerpotenz, auf die man sich bezieht, nicht die nächstliegende, sondern eine entfernt liegende nimmt. Rechnen wir das Beispiel (6) nochmals durch, wobei wir jetzt nicht die Zehnerpotenz 100, sondern die Zehnerpotenz 1000 als die nehmen, auf die wir uns bei der Restebildung beziehen.

94 | 906

•105 | 895

__________

1000•( 1000 – 1801) + 906•895 = 1000 000 – 1 801 000 + 810870 = 9870