Jeder gegen jeden

Eine Gruppe von Kindern trifft sich zum Tischtennisspielen. Jedes Kind spielt genau einmal gegen jedes andere.
In mindestens einem der Spiele treffen zwei Mädchen aufeinander ("Mädchenspiel").
Die Anzahl der Spiele insgesamt ist fünfmal so groß wie die Anzahl der Mädchenspiele. Es finden nicht mehr als 30 Spiele statt.
Berechne die Anzahl x der Kinder, die Anzahl m der Mädchen unter den Kindern und die Anzahl der Spiele.

Es finden x• ( x – 1)/2 Spiele und m•( m – 1)/2 Mädchenspiele statt.

Damit ist x•( x – 1) = 5•m•( m – 1) (*)

Ferner gilt 5•m•( m – 1)/2 ≤ 30 und damit m•( m – 1) ≤ 12

Diese Ungleichung hat die Lösungen ( m ist eine natürliche Zahl ) m = 1, m=2, m=3 und m=4

Die erste Lösung scheidet aus, da mindestens ein Mädchenspiel stattfindet und damit m≥ 2 gelten muss.

Einsetzen der Lösungen in (*) ergibt für x die Bestimmungsgleichungen

x•( x – 1) = 5•2•1 = 10 oder x•( x – 1) = 5•3•2 = 30 oder x•( x – 1) = 5•4•3 = 60

Nur die zweite Gleichung ist lösbar ( x = 6), denn es gibt keine aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, deren Produkt gleich 10 oder gleich 60 wäre.

Es treffen sich 6 Kinder, 3 davon sind Mädchen. Es finden insgesamt 6•5/2 = 15 Spiele statt; in dreien davon treffen Mädchen aufeinander, in dreien Jungen, in 3•3 = 9 Spielen trifft ein Junge auf ein Mädchen.