Beim Kartoffelschälen

Der erste Teil der Aufgabe ist entnommen dem 1913 erschienenen Buch "Unterhaltsame Aufgaben und Versuche" von J.I. Perelman. Um den zweiten Teil der Aufgabe zu lösen, sind Kenntnisse der e-Funktion und des Integrierens per Substitution erforderlich.

  1. Zwei Personen schälten 400 Kartoffeln. Eine schälte drei Stück pro Minute, die andere zwei Stück pro Minute. Die zweite Person arbeitete 25 Minuten länger als die erste. Wie lange hat jede der beiden gearbeitet?

  2. Beide Personen beginnen gleichzeitig mit dem Schälen, allerdings ermüden beide beim Arbeiten. So sinkt die Rate r1 der ersten Person von anfänglich drei Stück pro Minute exponentiell mit einer Halbwertszeit von 10 Minuten ab, die Rate r2 der zweiten Person sinkt ebenfalls exponentiell von anfänglich zwei Stück pro Minute mit einer Halbwertszeit von 20 Minuten ab. Man ahnt schon, dass bei diesem Tempo der Ermüdung die 400 Kartoffeln nicht zu schälen sein werden. Zeigen Sie, dass unter den gegebenen Bedingungen nicht mehr als 100 Kartoffeln geschält werden können.


a) Die zweite Person schält in den 25 Minuten, in denen sie allein arbeitet, 50 Kartoffeln. Beide zusammen haben demnach 350 Kartoffeln zu schälen. Zusammen schälen sie 5 Kartoffeln pro Minute, weshalb sie 350 : 5 = 70 Minuten zusammen arbeiten. Die erste Person arbeitet 70 Minuten lang, die zweite 70+25 = 95 Minuten lang.

Oder: Bezeichne t die Zeit, in der sie zusammen arbeiten. Dann gilt: 5•t + 2•(t + 25) = 400.
Daraus folgt 7t = 350 oder t = 70


b) r1(t) = 3•2 – 0,1•t = 3•exp( - 0,1•ln2•t) , r2(t) = 2•exp( - 0,05•ln2•t)

Eine Stammfunktion von r1(t) ist R1(t) = - 3•(10/ln2)•exp( - 0,1•ln2•t)

Eine Stammfunktion von r2(t) ist R2(t) = - 2•(20/ln2) •exp( - 0,05•ln2•t)

Die Anzahl Kartoffeln, die nach einer Zeit T geschält sein werden, wenn beide bei t = 0 mit dem Schälen beginnen, ist das bestimmte Integral von 0 bis T über die Summe der Raten

r1(t) + r2(t) ; das ist gleich

R1(T)–R1(0) + R2(T)–R2(0) = 3•(10/ln2)(1-exp(-0,1•ln2•T))+2•(20/ln2)•(1-exp(-0,05•ln2•T))

Die kleinste obere Schranke der Anzahl ist der Grenzwert dieses Integrals im Fall T → ∞ , das ist gleich 30/ln2 + 40/ln2 = 70/ln2 = 100,99...

Es können unter den gegebenen Bedingungen nicht mehr als 100 Kartoffeln geschält werden.