Im Baumarkt

Drei lineare Gleichungen mit drei Unbekannten können eindeutig lösbar sein. Zwei lineare Gleichungen mit drei Unbekannten sind nicht eindeutig lösbar, es sei denn, eine weitere Bedingung zu möglichen Lösungen ist zu beachten. Eine solche Aufgabe findet sich in J.I.Perelman’s Buch „Unterhaltsame Aufgaben und Versuche“. Wir passen die Aufgabe heutigen Gegebenheiten an und erweitern sie.


Jemand kauft in einem Baumarkt x Werkzeuge zum Stückpreis von 50 €, y Beschläge zum Stückpreis von 10€ und z Pflastersteine zum Stückpreis von 1 €. Er zahlt 500 €; insgesamt hat er 100 Einzelstücke erworben.
Sind durch diese Angaben die Stückzahlen x, y, z eindeutig bestimmt?

(I) x + y + z = 100

(II) 50x + 10y + z = 500

(II) – (I) ergibt 49x + 9y = 400 (III) oder y = ( 400 – 49x)/ 9 ( IV )

Zusätzliche Bedingung : x, y, z sind natürliche Zahlen.

Aus (III) folgt, dass x nicht größer als 8 sein kann. Entsprechend ( IV ) sind nun Zahlen x zwischen 1 und 8 gesucht, so dass 400 – 49x durch 9 teilbar ist.

Probieren mit x = 1 liefert eine Lösung (da 400 – 49 = 351 durch 9 teilbar ist), und weiter y=39 und z = 60.

Ist das schon die einzige Lösung? Probiert man in (IV) der Reihe nach die Einsetzungen für x von x= 2 bis x = 8 durch, so stellt man fest, dass die gefundene Lösung in der Tat die einzige ist. Aber man kann etwas schneller zum Ziel kommen.

Gesucht sind natürliche Zahlen x, k mit 400 – 49x = 9k oder 400 – 40x – 9x = 9k oder

40(10 – x ) = 9(k + x) mit 1 ≤ x ≤ 8 . Es folgt, dass 10 – x durch 9 teilbar sein muss, was nur für x = 1 möglich ist.