Aus Fehlern lernen

Die folgende Aufgabe hatte ich vor ein paar Jahren in einer Klausur im zweiten Halbjahr meines Technik-Kurses gestellt. Die Aufgabe kann als allgemein verfügbar gelten; sie kommt in verschiedenen Versionen in Sammlungen von Problemen zur Newtonschen Mechanik vor. Originell war freilich der Fehler, den einige Schüler im Teil c) der Aufgabe machten; er bot die Chance zu einer vertiefenden Diskussion des Problems. Ich stelle zunächst die Aufgabe und eine Lösung dazu vor; dann wird der Fehler erörtert, aus dem wir einiges lernen konnten.


Ein Quader der Masse m1 = 2 kg liegt auf einem zweiten Quader, der die Masse m2= 6kg hat. Dieser befindet sich auf einer waagerecht liegenden Platte. Zwischen der Platte und dem unteren Quader gibt es keine Reibungskräfte. Zwischen dem unteren und dem oberen Quader gibt es Reibung; die Gleitreibungszahl hat den Wert μG = 0,2; die Haftreibungszahl hat den Wert μH = 0,8 .
Eine horizontal gerichtete Kraft F greift am unteren Quader an.
quader
  1. Es sei F = 20 N. Zeigen Sie, dass beide Körper sich nicht gegeneinander bewegen, und bestimmen Sie die gemeinsame Beschleunigung.
  2. Wie groß kann F höchstens sein, damit der obere Quader nicht zu rutschen beginnt?
  3. Es sei F = 80 N. Bestimmen Sie die Beschleunigung, die der untere Quader erfährt, solange der obere noch nicht von ihm heruntergerutscht ist.

a) Solange die Haftreibungskraft beide Massen zusammenhält, erfahren beide Massen dieselbe Beschleunigung a = F/(m1 + m2) . Das wäre bei F = 20N eine Beschleunigung von 2,5m/sec2 . Sind dann beide Massen noch zusammen?

Betrachten wir die Situation von der oberen Masse aus. Sie erfährt in horizontaler Richtung nur die Haftreibungskraft, und deren Maximalwert ist 0,8•2•10N = 16 N. Die zu einer Beschleunigung von 2,5m/sec2 erforderliche Kraft auf m1 ist aber nur gleich 5N, also beginnt die Masse noch nicht zu gleiten.

b) Bei kleinen Beschleunigungen – s. Teil a) – haften beide Körper noch zusammen. Der obere Körper beginnt zu gleiten, wenn der Wert dieser – gemeinsamen – Beschleunigung größer als μH•g wird . Das bedeutet

F < ( m1 + m2) •μH•g = 64N

c) Die Kraft auf den unteren Quader ist: F – m1• μG•g = 80N – 4N = 76 N

Es folgt für die gesuchte Beschleunigung des unteren Quaders: m2•a2 = 76N, und damit a2 = 76N/6kg = 12,66m/sec2.

So weit zur Lösung der Aufgabe. Ich komme zum Fehler, den einige Schüler gemacht haben und der uns die Chance bot, aus ihm einiges zu lernen. Dazu füge ich einen leicht veränderten Abschnitt aus der Berichtigung bei, die von mir routinemäßig nach Rückgabe der Arbeit an alle Schüler verschickt worden ist .

Einen recht lehrreichen Fehler haben einige von Ihnen gemacht. Sie rechnen in c) :

(m1+ m2)•a =80N, und damit a =80N/8kg = 10m/sec2.

Sie könnten wie folgt argumentieren: Die Gleitreibungskraft ist eine Kraft, die sich zwischen Teilen des insgesamt beschleunigten Körpers abspielt. Sie ist keine äußere Kraft. Und das 2.Newtonsche Axiom sagt : Die Summe der äußeren Kräfte ist gleich der Gesamtmasse des Körpers mal der Beschleunigung. Und die einzige äußere Kraft ist gleich 80 N. Also a = 80N/8kg = 10 m/sec2 .

Aber sehen wir genauer hin! Welche Beschleunigung ist im Newtonschen Axiom gemeint? Was ist gemeint, wenn die einzelnen Bestandteile des Körpers sich unterschiedlich bewegen?

Ich denke, dass ich Ihnen das gelegentlich einmal gesagt habe: Gemeint ist die Beschleunigung des Massenmittelpunktes. Bei einem festen Körper muss man darüber nicht nachdenken; bei ihm bewegen sich alle Massenpunkte in gleicher Weise. Wie aber ist es hier?

10m/sec2 ist der Wert der Beschleunigung des Massenmittelpunktes der beiden Quader. Und dieser wird nicht so beschleunigt wie der untere Quader. Vielmehr ist die Beschleunigung des Massenmittelpunktes geringer als die des unteren Quaders, weil der obere Quader zurückbleibt.

Ihre Rechnung hätte wie folgt fortgeführt werden können.

Die Kraft F ist einerseits gleich dem Produkt (m1+ m2)aS , wobei aS die Beschleunigung des Schwerpunktes bedeutet, andererseits gleich der Summe der auf m1 und auf m2 wirkenden Kräfte m1a1 + m2a2. Auf m1 wirkt in waagerechter Richtung nur die Gleitreibungskraft:

m1a1 = μGm1g = 4 kgm/sec2, und so folgt

(1) m2a2 = (m1+m2)aS - μGm1g = 8kg•10m/sec2 – 4 kgm/sec2 = 76kgm/sec2

Damit ist a2 = 76/6 m/sec2 = 12,66 m/sec2

Die Rechnung hätte auch in folgender Weise fortgeführt werden können.

Bezeichnen wir mit xS die waagerechte Komponente des Ortsvektors des Massenmittelpunktes und mit x1, x2 die Koordinaten der Massenmittelpunkte der beiden Quader, so ergibt sich xS als deren gewichtetes Mittel:

(2) xS = ( m1x1 + m2x2)/(m1 + m2).

Gesucht ist die Beschleunigung a2; das ist die zweite zeitliche Ableitung von x2 . Zweimaliges Ableiten von (2) ergibt

(3) aS = ( m1a1 + m2a2)/(m1 + m2)

(3) ist bis auf geringfügige Umformung und nach Einsetzung von m1a1 = μGm1g identisch mit Gleichung (1)