Eine Logelei - 2

Robert und Claudia leben im W-L-Land. Jeder Bürger dieses Landes gehört entweder zu der Gruppe der Wahrhaftigen (W) oder zur Gruppe der Lügner (L) .Die Leute aus der Gruppe W sagen immer die Wahrheit; alles Wahre halten sie für wahr, alles Falsche für falsch. Die Lügner (L) lügen immer; alles Wahre halten sie für falsch, alles Falsche für wahr.
Robert sagt: Ich lüge nie
Und er sagt: Claudia hält sich für eine Lügnerin

Zu welcher Gruppe gehört Robert, zu welcher Gruppe gehört Claudia?

Die Lösung in Form eines Flussdiagrammes
logelei

Ergebnis: Robert gehört zur Gruppe der Lügner, es bleibt offen, zu welcher Gruppe Claudia gehört.

Die Lösung in Textform

1. Fall. Wir setzen voraus: Robert und Claudia gehören beide zu W. Dann würde sich Claudia für eine Lügnerin halten, sich also irren, was nach Voraussetzung nicht sein kann.

2. Fall. Wir setzen voraus: Robert gehört zu W, Claudia zu L. Dann hält sie sich für eine Lügnerin, irrt als Lügnerin aber, muss also zu den Wahrhaftigen gehören. Das widerspricht der Voraussetzung.

3. Fall. Wir setzen voraus: Robert gehört zu L, Claudia zu W. Dann lügt Robert. Da ein Lügner nach Aufgabenstellung immer lügt, ist auch seine zweite Aussage falsch. Claudia hält sich also nicht für eine Lügnerin, und das stimmt mit der Voraussetzung überein, dass sie zu W gehört. Also: Robert gehört zu L, Claudia zu W.

4. Fall. Wir setzen voraus: Robert und Claudia gehören beide zu L. Dann lügt Robert, Claudia hält sich demnach nicht für eine Lügnerin, irrt aber nach Voraussetzung und gehört also zu L.
Also: Robert und Claudia gehören beide zu L.

Ergebnis: Robert gehört zur Gruppe der Lügner, es bleibt offen, zu welcher Gruppe Claudia gehört.

Lösung per Mengenschreibweise

Abkürzungen: 1: gehört zu W 0: gehört zu L

R. Robert C: Claudia

Es gibt die folgenden vier Fälle

R 1 1 0 0
C 1 0 1 0

Das führt zu folgender Ergebnismenge : Ω = { (1|1), (1|0), (0|1), (0|0) }

Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Nicht vergessen werden darf das unmögliche Ereignis; das ist die leere Menge Ø, die Teilmenge jeder Menge, auch der Ergebnismenge, ist. Dieses kommt hier vor, und zwar in der zweiten Aussage von Robert. Denn es ist unmöglich, dass Claudia sich für eine Lügnerin hält: Gehört sie zur Gruppe W, so kann sie sich nicht für eine Lügnerin halten, und gehört sie zur Gruppe L, so würde sie eine wahre Annahme machen, was ein Widerspruch ist.

Halten wir fest: Die zweite Aussage von Robert ist das unmögliche Ereignis Ø .

Die beiden Aussagen Roberts kann man sich durch das logische „und zugleich“ verknüpft denken: Da ein Lügner immer lügt, ist mit einer der Aussagen auch seine Gesamtaussage falsch, und die Gesamtaussage ist dann und nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.

Genau dann, wenn Robert die Wahrheit sagt, ist die zweite Aussage wahr und liegt das unmögliche Ereignis vor.

Die Komplementärmenge zu diesem Ereignis, die genau dann vorliegt, wenn Robert lügt, ist Ω.

Somit ergibt sich als Lösung das Ereignis:

{ { (1|1), (1|0) }∩ Ø}U { { (0|1), (0|0) }∩ Ω } = Ø U { { (0|1), (0|0) }∩ Ω }= { (0|1), (0|0) }

Lösung: Robert gehört zur Gruppe der Lügner; es bleibt offen, zu welcher Gruppe Claudia gehört.