Achte auf die Endziffer!

a)  Zeigen Sie: Die Zahl 240 - 1 ist durch 5 teilbar. Finden Sie weitere Primfaktoren dieser Zahl!
b)  Zeigen Sie: Auch die Zahl 3421 + 2 ist durch 5 teilbar.

a) Sehen wir uns die Endziffern der Zweierpotenzen an: 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8 , 24 = 16, 25 = 32, 26 = 64, 27 = 128, 28 = 256, 29 = 512, 210 = 1024,...

Die Endziffern durchlaufen periodisch die Zahlen 2, 4, 8, 6 . Insbesondere haben alle Zweierpotenzen, deren Hochzahl ein Vielfaches von 4 ist, die Endziffer 6. So hat auch 240 die Endziffer 6. Demnach hat 240 – 1 die Endziffer 5 und ist deshalb durch 5 teilbar.

Um weitere Primfaktoren der Zahl 240 – 1 zu finden, faktorisiert man unter Verwendung der dritten Binomischen Formel:

240 – 1 = (220 – 1)(220 + 1) = (210 –1)(210 + 1)(220 + 1)

( Der zweite Faktor ist übrigens gleich 1025 und damit durch 5 teilbar; so hätte man die erste Behauptung auch beweisen können).

Wir zerlegen den Faktor 210 – 1 weiter: 210 – 1 = (25 – 1)(25 + 1) = 31•33 = 31•3•11 , womit man weitere Primfaktoren 3, 11, 31 gefunden hat.

b) Die Endziffern der Dreierpotenzen durchlaufen periodisch die Zahlen 3, 9, 7, 1 .

So hat 3421 = 34•105 + 1 die Endziffer 3. Somit hat 3421 + 2 die Endziffer 5 und ist damit durch 5 teilbar.